Énergie mécanique dans les systèmes de MHS

Énergie potentielle dans un mouvement harmonique simple

Nous considérons un système ressort-masse pour trouver l'expression de l'énergie potentielle dans un exemple de mouvement harmonique simple. La force du ressort est une force conservatrice, nous pouvons donc définir l'énergie potentielle pour elle. Pour rappel, une force conservatrice est une force indépendante de la trajectoire d'un objet, c'est-à-dire qu'elle ne dépend que du déplacement de l'objet. L'énergie potentielle du ressort est l'énergie accumulée dans le ressort lorsqu'il est comprimé. Pour trouver l'expression, nous pouvons déterminer le travail effectué par la force en résolvant une intégrale ou, plus facilement, nous pouvons tracer la force du ressort en fonction de la position et déterminer l'aire sous la courbe.

$$\triangle U=-\int_a^b{\overset\rightharpoonup F}_{\text{conservative}}\cdot\overset\rightharpoonup{\operatorname dr}$$$

Fig 2 - Force du ressort en fonction de la position pour illustrer comment déterminer l'énergie potentielle du ressort en calculant l'aire sous la courbe.

D'après la figure ci-dessus, nous voyons que l'aire sous la courbe est un triangle. Nous pouvons donc facilement déterminer l'expression de l'énergie potentielle du ressort :

$$\begin{array}{rcl}U&=&\frac12(x)(kx),\\U&=&\frac12kx^2.\end{array},$$

où \(k\) est la constante du ressort qui mesure la rigidité du ressort en Newtons par mètre \((\frac{\mathrm N}{\mathrm m})\) et \(x\) est le déplacement de l'objet par rapport à l'équilibre en mètres \((\mathrm m)\). Il s'agit d'un modèle basé sur la preuve expérimentale de la loi de Hooke.

Nous connaissons la force conservatrice qui agit sur le système ressort-masse, nous pouvons donc résoudre l'intégrale pour trouver l'énergie potentielle stockée dans le ressort.

$$U_s=-\int_0^x(-kx)dx=\frac12kx^2$$

Énergie cinétique dans un mouvement harmonique simple

Maintenant que nous savons que l'énergie est conservée dans un mouvement harmonique simple et que nous avons l'expression de l'énergie potentielle, nous pouvons déterminer l'expression de la vitesse, puisque nous connaissons l'équation de l'énergie cinétique :

$$\begin{array}{rcl}K_i+U_i&=&K_f+U_f,\\\frac12mv_i^2+\frac12\omega^2mx_i^2&=&\frac12mv_f^2+\frac12\omega^2mx_f^2.\end{array}$$

Initialement, nous sommes au déplacement maximum, donc, \N(v_i=0,\N;x_i=A,v_f=v,\N;et\N;x_f=x\N). Nous remplaçons les valeurs dans l'équation ci-dessus et résolvons la vitesse :

$$\begin{array}{rcl}\frac12\omega^2mA^2&=&\frac12mv^2+\frac12\omega^2mx^2,\\v^2&=&\omega^2(A^2-x^2),\\v&=&\omega\sqrt{A^2-x^2}.\end{array}$$

Maintenant que nous connaissons l'expression de la vitesse de l'objet soumis à un mouvement harmonique simple, nous pouvons déterminer l'équation de l'énergie cinétique des oscillateurs harmoniques simples :

$$\begin{array}{rcl}K&=&\frac12mv^2,\\K&=&\frac12m\omega^2(A^2-x^2).\end{array}$$

Énergie mécanique totale dans un mouvement harmonique simple

Maintenant que nous connaissons les expressions de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle dans un mouvement harmonique simple, nous pouvons déterminer l'équation de l'énergie mécanique totale d'un oscillateur harmonique simple.

$$\begin{array}{rcl}E&=&K+U,\\E&=&\frac12k(A^2-x^2)+\frac12kx^2,\\E&=&\frac12kA^2.\end{array}$$

Une autre façon de visualiser l'énergie mécanique totale est de penser aux expressions de la position et de la vitesse d'un simple oscillateur harmonique donné par

$$\begin{array}{rcl}x&=&A\cos\left(\omega t+\phi\right),\v&=&-A\omega\sin\left(\omega t+\phi\right).\n-end{array}$$$

Si nous examinons l'énergie du système, nous constatons que l'énergie potentielle oscille comme une fonction cosinuso-carrée, tandis que l'énergie cinétique oscille comme une fonction sinuso-carrée.

$$\begin{array}{rcl}E&=&K+U,\\E&=&\frac12mv^2+\frac12kx^2,\\E&=&\frac12mA^2\omega^2\sin^2\left(\omega t+\phi\right)+\frac12kA^2\cos^2\left(\omega t+\phi\right),\\E&=&\frac12\cancel mA^2\left(\frac k{\cancel m}\right)\sin^2\left(\omega t+\phi\right)+\frac12kA^2\cos^2\left(\omega t+\phi\right),\E& =& \c12kA^2\cos^2\left(\omega t+\phi\right)=&\frac12kA^2\sin^2\left(\omega t+\phi\right)+\frac12kA^2\cos^2\left(\omega t+\phi\right),\end{array}$$.

où l'identité trigonométrique \(\cos^2\à gauche(\theta\droite)+\sin^2\à gauche(\theta\droite)=1\). L'énergie mécanique est donnée par

$$E=\frac12kA^2.$$

Nous voyons donc que l'énergie mécanique totale de l'oscillateur harmonique simple est la somme de l ' énergie cinétique de la masse et de l'énergie potentielle stockée dans le ressort. L'énergie du système est proportionnelle au carré de l'amplitude, de sorte que l'amplitude influe sur l'énergie totale. On constate également que l'énergie totale de ce système est constante dans le temps.