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L'estimation des erreurs peut également utiliser la valeur moyenne de toutes les mesures s'il n'y a pas de valeur attendue ou de valeur standard.
La valeur moyenne
Pour calculer la moyenne, nous devons additionner toutes les valeurs mesurées de x et les diviser par le nombre de valeurs que nous avons prises. La formule pour calculer la moyenne est la suivante :
\[\text{moyenne} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + ...+x_n}{n}\].
Disonsque nous avons cinq mesures, avec les valeurs 3,4, 3,3, 3,342, 3,56 et 3,28. Si nous additionnons toutes ces valeurs et les divisons par le nombre de mesures (cinq), nous obtenons 3,3764.
Comme nos mesures ne comportent que deux décimales, nous pouvons arrondir ce résultat à 3,38.
Estimation des erreurs
Nous allons ici faire la distinction entre l'estimation de l'erreur absolue, de l'erreur relative et du pourcentage d'erreur.
Estimation de l'erreur absolue
Pour estimer l'erreur absolue, nous devons calculer la différence entre la valeur mesurée x0 et la valeur attendue ou norme xref:
\[\text{Absolute error} = |x_0 - x_{ref}|\]
Imagine que tu calcules la longueur d'un morceau de bois. Tu sais qu'il mesure 2,0 m avec une très grande précision de ± 0,00001 m. La précision de sa longueur est si élevée qu'elle est considérée comme étant de 2,0 m. Si ton instrument indique 2,003 m, ton erreur absolue est | 2,003 m-2,0 m | ou 0,003 m.
Estimation de l'erreur relative
Pour estimer l'erreur relative, nous devons calculer la différence entre la valeur mesurée x0 et la valeur standard xref et la diviser par la magnitude totale de la valeur standard xref:
\[\text{Erreur relative} = \frac{|x_0 - x_{ref}|}{|x_{ref}|}\]
En utilisant les chiffres de l'exemple précédent, l'erreur relative dans les mesures est de | 2,003m-2,0m | / | 2,0m | ou 0,0015. Comme tu peux le voir, l'erreur relative est très petite et n'a pas d'unité.
Estimation du pourcentage d'erreur
Pour estimer le pourcentage d'erreur, il faut calculer l'erreur relative et la multiplier par cent. Le pourcentage d'erreur est exprimé par la "valeur de l'erreur"%. Cette erreur nous indique le pourcentage d'écart causé par l'erreur.
\[\text{Pourcentage d'erreur} = \frac{|x_0 - x_{ref}|}{|x_{ref}|} \cdot 100 \%\]
En utilisant les chiffres de l'exemple précédent, le pourcentage d'erreur est de 0,15 %.
Quelle est la meilleure ligne d'ajustement ?
La ligne de meilleur ajustement est utilisée pour tracer des données où une variable dépend d'une autre. Par nature, une variable change de valeur, et nous pouvons mesurer les changements en les reportant sur un graphique en fonction d'une autre variable telle que le temps. La relation entre deux variables est souvent linéaire. La ligne de meilleur ajustement est la ligne qui est la plus proche de toutes les valeurs tracées.
Certaines valeurs peuvent être très éloignées de la ligne de meilleur ajustement. C'est ce qu'on appelle des valeurs aberrantes. Cependant, la droite de meilleur ajustement n'est pas une méthode utile pour toutes les données, c'est pourquoi nous devons savoir comment et quand l'utiliser.
Obtention de la droite de meilleur ajustement
Pour obtenir la droite de meilleur ajustement, nous devons tracer les points comme dans l'exemple ci-dessous :
Ici, beaucoup de nos points sont dispersés. Cependant, malgré cette dispersion des données, ils semblent suivre une progression linéaire. La ligne qui est la plus proche de tous ces points est la ligne de meilleur ajustement.
Quand utiliser la droite de meilleur ajustement ?
Pour pouvoir utiliser la droite de meilleur ajustement, les données doivent suivre certains modèles :
- La relation entre les mesures et les données doit être linéaire.
- La dispersion des valeurs peut être importante, mais la tendance doit être claire.
- La droite doit passer à proximité de toutes les valeurs.
Données aberrantes
Parfois, dans un graphique, il y a des valeurs qui sortent de la fourchette normale. C'est ce qu'on appelle des valeurs aberrantes. Si les valeurs aberrantes sont moins nombreuses que les points de données qui suivent la ligne, elles peuvent être ignorées. Cependant, les valeurs aberrantes sont souvent liées à des erreurs de mesure. Dans l'image ci-dessous, le point rouge est une valeur aberrante.
Tracer la ligne d'ajustement optimal
Pour tracer la ligne de meilleur ajustement, nous devons tracer une ligne passant par les points de nos mesures. Si la ligne croise l'axe des y avant l'axe des x, la valeur de y sera notre valeur minimale lors de la mesure.
L'inclinaison ou la pente de la ligne est la relation directe entre x et y, et plus la pente est grande, plus elle sera verticale. Une pente importante signifie que les données changent très rapidement à mesure que x augmente. Une pente douce indique un changement très lent des données.
Calculer l'incertitude dans une parcelle
Dans un tracé ou un graphique avec des barres d'erreur, il peut y avoir de nombreuses lignes passant entre les barres. Nous pouvons calculer l'incertitude des données à l'aide des barres d'erreur et des lignes qui passent entre elles. Vois l'exemple suivant de trois lignes passant entre des valeurs avec des barres d'erreur :
Comment calculer l'incertitude d'une parcelle
Pour calculer l'incertitude d'un tracé, nous devons connaître les valeurs d'incertitude du tracé.
- Calcule deux lignes de meilleur ajustement.
- La première ligne (la verte dans l'image ci-dessus) va de la valeur la plus élevée de la première barre d'erreur à la valeur la plus basse de la dernière barre d'erreur.
- La deuxième ligne (rouge) va de la valeur la plus basse de la première barre d'erreur à la valeur la plus élevée de la dernière barre d'erreur.
- Calcule la pente m des lignes à l'aide de la formule ci-dessous.
\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}\]
- Pour la première ligne, y2 est la valeur du point moins son incertitude, tandis que y1 est la valeur du point plus son incertitude. Les valeurs x2 et x1 sont les valeurs sur l'axe des x.
- Pour la deuxième ligne, y2 est la valeur du point plus son incertitude, tandis que y1 est la valeur du point moins son incertitude. Les valeurs x2 et x1 sont les valeurs sur l'axe des x.
- Tu additionnes les deux résultats et tu les divises par deux :
\[\text{Incertitude} = \frac{m_{rouge}-m_{vert}}{2}\]
Voyonsun exemple de ceci, en utilisant les données de température en fonction du temps.
Calcule l'incertitude des données dans le graphique ci-dessous.
Le tracé est utilisé pour faire une approximation de l'incertitude et la calculer à partir du tracé.
| Temps (s) | 20 | 40 | 60 | 80 |
| Température en Celsius | 84.5 ± 1 | 87 ± 0.9 | 90.1 ± 0.7 | 94.9 ± 1 |
Pour calculer l'incertitude, tu dois tracer la ligne dont la pente est la plus élevée (en rouge) et la ligne dont la pente est la plus faible (en vert).
Pour cela, tu dois considérer la pente la plus forte et la pente la moins forte d'une ligne qui passe entre les points, en tenant compte des barres d'erreur. Cette méthode ne te donnera qu'un résultat approximatif en fonction des droites choisies.
Tu calcules la pente de la ligne rouge comme ci-dessous, en prenant les points de t=80 et t=60.
\(\frac{(94.9+1)^\circ C - (90.1 + 0.7)^\circ C}{(80-60)} = 0.255 ^\circ C\)
Tu vas maintenant calculer la pente de la ligne verte en prenant les points de t=80 et t=20.
\(\frac{(94.9- 1)^\circ C - (84.5 + 1)^\circ C}{(80-20)} = 0.14 ^\circ C\)
Maintenant, tu soustrais la pente du vert (m2) de la pente du rouge (m1) et tu divises par 2.
\(\texte{Incertitude} = \frac{0,255^\circ C - 0,14 ^\circ C}{2} = 0,0575 ^\circ C\)
Comme nos mesures de température ne prennent que deux chiffres significatifs après la virgule, nous arrondissons le résultat à 0,06 Celsius.
Estimation des erreurs - Principaux points à retenir
- Tu peux estimer les erreurs d'une valeur mesurée en la comparant à une valeur standard ou à une valeur de référence.
- L'erreur peut être estimée comme une erreur absolue, une erreur en pourcentage ou une erreur relative.
- L'erreur absolue mesure la différence totale entre la valeur que tu attends d'une mesure (X0) et la valeur obtenue (Xref), égale à la différence de valeur absolue des deux Abs = | X0-Xref|.
- Les erreurs relatives et en pourcentage mesurent la fraction de la différence entre la valeur attendue et la valeur mesurée. Dans ce cas, l'erreur est égale à l'erreur absolue divisée par la valeur attendue \(rel = \frac{Abs}{X_0}\) pour l'erreur relative, et divisée par la valeur attendue et exprimée en pourcentage pour l'erreur en pourcentage \(\text{pourcentage d'erreur par} = \Big(\frac{Abs}{X_0} \Big) \cdot 100\). Tu dois ajouter le symbole du pourcentage pour les erreurs en pourcentage.
- Tu peux approximer la relation entre tes valeurs mesurées à l'aide d'une fonction linéaire. Cette approximation peut être faite simplement en traçant une ligne, qui doit être la ligne qui passe le plus près de toutes les valeurs (la ligne de meilleur ajustement).
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Questions fréquemment posées en Estimation des erreurs
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