Impulsion angulaire

L'élan

Avant de nous plonger dans l'impulsion angulaire, nous devons discuter d'un sujet connexe, le momentum. Momentum est une quantité vectorielle associée aux objets en mouvement. Il peut être linéaire ou angulaire selon le mouvement d'un système. Cependant, pour cet article, nous nous concentrerons sur le moment angulaire.

La formule mathématique correspondant à cette définition est $$L=I\omega$$ où \( \omega \) est la vitesse angulaire mesurée en \( \mathrm{\frac{rad}{s}} \) et \( I \) est l'inertie mesurée en \( \mathrm{kg\N,m^2}. \N Le moment cinétique a une unité SI de \( \mathrm{kg\N,\frac{m^2}{s}} \N).

Note que cette formule ne peut être utilisée que lorsque le moment d'inertie est constant. Si le moment d'inertie n'est pas constant, nous devons chercher la cause du mouvement de rotation, qui est le couple, l'équivalent angulaire de la force.

L'équation du couple peut être écrite sous la même forme que la deuxième loi de Newton, \N ( F= ma, \N) et s'exprime comme \N( \Ntau=I\Nalpha, \N) où \N( I \N) est le moment d'inertie et \N( \Nalpha \N) est l'accélération angulaire .

Comme le moment angulaire correspond au mouvement de rotation, c'est-à-dire au mouvement associé aux objets qui se déplacent sur une trajectoire circulaire autour d'un axe fixe, l'impulsion angulaire correspond également à ce type de mouvement.

Définition de l'impulsion angulaire

L'impulsion angulaire, une quantité vectorielle, décrit comment le couple, l'analogue rotatif de la force, affecte un système par rapport au temps.

Formule de l'impulsion angulaire

La formule mathématique correspondant à la définition de l'impulsion angulaire est la suivante

$$\Delta \vec{J_{rot}}= \int_{t_o}^{t}\vec{\tau}(t)dt,$$

ce qui peut être simplifié en

$$J=\tau\Delta{t},$$ lorsque \( \tau \) ne varie pas avec le temps.

Note : \( \tau \r) est le couple mesuré en \( \mathrm{Nm} \r) et \( t \r) est le temps mesuré en \( \mathrm{s}. \r).

Unité SI de l'impulsion angulaire

L'unité SI pour l'impulsion angulaire est le Newton-seconde qui est abrégé en \ ( \mathrm{Nm{s}. \N).

Théorème impulsion-momentum

L'impulsion et la quantité de mouvement sont liées par le théorème impulsion-momentum. Ce théorème stipule que l'impulsion appliquée à un objet est égale à la variation de l'élan de l'objet. Pour le mouvement de rotation, cette relation est décrite par l'équation suivante : J=\Delta{L}. Cependant, nous devons nous rappeler que, bien qu'elles soient liées par ce théorème, chacune représente une quantité décrite par des définitions et des formules distinctes. L'impulsion angulaire fait référence à la variation de l'élan d'un objet tandis que le moment angulaire fait référence au produit du moment d'inertie et de la vitesse angulaire d'un objet.

Momentum, impulsion et deuxième loi du mouvement de Newton

La deuxième loi du mouvement de Newton peut être dérivée de la relation impulsion-momentum. Pour compléter cette dérivation, nous devons utiliser les équations correspondant au théorème de l'impulsion-momentum en conjonction avec les formules individuelles de la quantité de mouvement et de l'impulsion. Dérivons la deuxième loi de Newton pour le mouvement de rotation en commençant par l'équation \( J=\Delta{L} \) et en la réécrivant sous la forme \( \tau\Delta{t}=I\Delta{\omega} \).

$$\begin{align}J&=\Delta{L}\\\tau\Delta{t}&=\Delta{L}\\\tau\Delta{t}&=I\Delta{\omega}\\\tau&=\frac{I\Delta{\omega}}{\Delta{t}}\\\end{align}$$

Assurez-vous de reconnaître que \( \frac{\Delta{\omega}}{\Delta{t}} \) est la définition de l'accélération angulaire, de sorte que l'équation peut être écrite sous la forme suivante

$$\begin{align}\tau&= I{\alpha}\\end{align},$$ que nous savons être la deuxième loi de Newton sous forme angulaire. Grâce à cette relation, nous pouvons définir le couple en fonction de la quantité de mouvement. Le couple est la vitesse à laquelle le moment angulaire d'un objet change par rapport au temps.

Importance du théorème de l'impulsion et du momentum

Le théorème de l'impulsion et du momentum est important parce qu'il permet d'établir des liens entre la façon dont les forces agissent sur un objet et la façon dont cela affecte le mouvement de l'objet. Parmi les applications réelles de ce théorème, on peut citer la détermination des distances d'arrêt et de suivi sûres pour les véhicules et la conception d'équipements de lutte contre l'incendie tels que les grands filets et les matelas gonflables géants utilisés par les pompiers. Cependant, dans le monde réel, les forces n'étant pas toujours constantes, les choses sont plus complexes sans ce théorème. Par exemple, les forces non constantes causées par les humains et les moteurs. Comme toutes les personnes et tous les moteurs sont construits différemment, plusieurs facteurs doivent être pris en compte car ils ont un impact direct sur la force globale. Par conséquent ,il serait assez difficile de déterminer l'impact de plusieurs facteurs sur la force globale si ce n'était de ce théorème.

Échecs du théorème de l'impulsion et du momentum

Le théorème de l'impulsion et du momentum n'échoue pas en raison du concept fondamental de la conservation de la quantité de mouvement. La conservation de la quantité de mouvement stipule que la quantité de mouvement est conservée car elle ne peut être ni créée ni détruite, mais seulement modifiée sous l'effet des forces. Prenons l'exemple d'une collision entre deux objets. Comme l'indique la conservation de la quantité de mouvement, nous savons que les forces agissant sur les objets seront de direction égale et opposée pendant un intervalle de temps spécifique. Il s'ensuit alors que l'impulsion des objets sera également égale en magnitude et opposée en direction. Par conséquent, en appliquant le théorème, on peut conclure que les objets doivent également subir des changements de quantité de mouvement égaux et opposés,

Exemples d'impulsion et de moment cinétique

Pour résoudre les problèmes d'impulsion et de moment cinétique, les équations de l'impulsion angulaire et du moment cinétique peuvent être appliquées à différents problèmes. Comme nous avons défini l'impulsion angulaire et le moment cinétique, travaillons sur quelques exemples pour mieux comprendre l'impulsion et le moment cinétique. Note qu'avant de résoudre un problème, nous devons toujours nous rappeler ces étapes simples :

1. Lis le problème et identifie toutes les variables données dans le problème.
2. Détermine ce que le problème demande et quelles formules sont nécessaires.
3. Applique les formules nécessaires et résous le problème.
4. Fais un dessin si nécessaire pour fournir une aide visuelle.

Exemples

Appliquons nos nouvelles connaissances à quelques exemples.

Prenons un exemple un peu plus difficile.