Inductance

Définition de l'inductance

En 1830, d'après les résultats d'expériences réalisées par Michael Faraday et Joseph Henry, des courants électriques ont été induits dans une bobine en raison d'une modification des champs magnétiques qui l'entourent. En d'autres termes, un courant électrique est induit dans des bobines en raison d'une modification du flux magnétique (nombre de lignes de champ magnétique traversantune zone) lié à la même bobine.

Faraday a fourni deux lois de l'induction électromagnétique en se basant sur ses résultats expérimentaux.

1. Première loi - Une f.é.m. est induite chaque fois qu'un champ magnétique lié à la bobine change. Cette f.é.m. dure aussi longtemps que le champ magnétique change.

2. Deuxième loi - L'ampleur de la f.é.m. induite dans la bobine est directement proportionnelle au taux de variation du flux magnétique lié à la bobine.

   \[E_i\propto\frac{\phi_2-\phi_1}{t}\]où \(\phi_1\) et \(\phi_2\) sont les flux magnétiques initial et final traversant le conducteur.\[E_i=k\frac{\phi_2-\phi_1}{t}\] où \(k\) est la constante de proportionnalité, et sa valeur est de 1 pour tous les systèmes d'unités.Ainsi, la magnitude d'une f.é.m. induite est \(E_i=\frac{|\phi_2-\phi_1|}{t}\).

La direction de cette f.m.e. induite est fournie par la loi de Lenz. Selon la loi de Lenz, la direction de la f.é.m. induite est telle qu'elle s'oppose à la cause de sa production, c'est-à-dire à une variation du flux magnétique.

\[E_i=-\frac{\phi_2-\phi_1}{t}\]

ou

\[E_i=-\frac{d\phi}{dt}\tag{1}\]

Ici, le signe négatif indique qu'une f.é.m. induite s'oppose à la variation du flux magnétique. La direction de la f.é.m. induite déterminera alors la direction dans laquelle le courant induit circulera.

Fig. 2 - La figure montre une bobine placée perpendiculairement au plan contenant l'aimant.

Dans le schéma ci-dessus, le flux magnétique traversant la bobine change en raison du mouvement d'un aimant vers la bobine, ce qui induit un courant électrique.

Le courant électrique induit est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. En raison de ce courant électrique, la bobine commence à se comporter comme un aimant. Selon la règle de la main droite, le pôle nord de la bobine fait face au pôle nord du barreau aimanté qui s'approche, comme le montre la figure 2. Il en résulte une force répulsive qui s'oppose au mouvement du barreau aimanté vers la bobine.

Cette caractéristique d'inductance d'une bobine est utilisée dans nos maisons par le biais d'inducteurs pour protéger nos appareils électriques contre l'augmentation ou la diminution soudaine d'un courant électrique. Dans la prochaine partie, nous en apprendrons plus sur ces inducteurs et sur la façon dont leur inductance varie en fonction du courant électrique.

Formule d'inductance

Imagine qu'une bobine soit connectée à un circuit électrique. La variation d'un courant électrique à travers le circuit induit un courant électromagnétique/électrique dans la bobine. Ce courant électrique est dû à la variation du flux magnétique qui traverse la bobine. Le sens du courant induit s'oppose à la variation du courant électrique à travers le circuit.

Un inducteur se compose généralement d'une bobine de matériau conducteur enroulée autour du noyau d'un matériau ferromagnétique. Le noyau d'un inducteur permet de concentrer et de fixer la limite maximale du flux magnétique qui traverse la bobine.

Ce flux magnétique est directement proportionnel au courant électrique qui traverse la bobine.

\[\phi\propto I\] ou \[\phi=LI\tag{2}\] où \(L\) est une constante de proportionnalité qui est appelée coefficient d'auto-inductance ou auto-inductance d'une bobine.

Lorsque \(I=1\,\mathrm{ampère}\), l'équation (2) devient \(L=\phi\).

Unité d'inductance

D'après les équations (1) et (2),

\[\begin{align*}E_i&=-\frac{d}{dt}\left(LI\right)\\\N-E_i&=-L\frac{dI}{dt}\N-L&=-\frac{E_i}{\frac{dI}{dt}}\tag{3}\n-end{align*}\N].

L'unité SI de \(L\) est le henry. D'après l'équation (3),

\[1\,\mathrm{henry}=\frac{1\,\mathrm{volt}}{1\,\mathrm{ampere\,per\,sec}}\]

Le coefficient d'auto-inductance \(gauche(droite)\) dépend des propriétés physiques de la bobine.

• Le nombre de tours de la bobine,
• La surface de la section transversale de la bobine,
• Le matériau du noyau sur lequel la bobine est enroulée.

Dans la section suivante, nous allons découvrir l'auto-inductance d'un long solénoïde et comment elle varie en fonction de ses propriétés physiques.

Équation de l'inductance

Lorsqu'une bobine est enroulée en hélice serrée, elle se comporte comme un solénoïde. Dans le cas d'un long solénoïde, la longueur du solénoïde est importante par rapport au rayon de sa section transversale.

Imaginons qu'un courant électrique \(I\) traverse le solénoïde de longueur \(l\) et avec un nombre de spires \(N\). Le champ magnétique \(B\) en tout point du solénoïde est le suivant

\[B=\frac{\mu_0NI}{l}\tag{4}\]

où \(\mu_0\) est la perméabilité magnétique absolue de l'espace libre/vide.

Soit \(A\) l'aire de la section transversale du solénoïde. Le flux magnétique traversant chaque tour du solénoïde en fonction du champ magnétique et de la surface est alors \(\phi=B\cdot A\) ou \(\phi=BA\cos(\theta)\) où \(\theta\) est l'angle entre les lignes du champ magnétique et le vecteur de surface d'un solénoïde.

Mesure de l'inductance

Supposons que le solénoïde soit placé perpendiculairement à la direction des lignes de champ magnétique, de sorte que l'angle entre le vecteur surface et les lignes de champ magnétique soit \N(0^\circ.\N).

\N- [\N- \Nphi=BA.\N]

En utilisant la valeur de l'équation (4), l'équation ci-dessus devient

\[\phi=\frac{\mu_0NI}{l}A\]

Le flux magnétique total à travers le solénoïde avec \(N\) nombre de tours est de

\[\begin{align*}\phi&=\frac{\mu_0NIA}{l}\times N\\\\N\phi&=\frac{\mu_0N^2IA}{l}\tag{5}\end{align*}\]

D'après les équations (2) et (5),

\[\begin{align*}LI&=\frac{\mu_0N^2IA}{l}\\N-L&=\frac{\mu_0N^2A}{l}\end{align*}\]

Cette équation montre la dépendance de l'inductance d'un solénoïde par rapport à ses propriétés physiques. L'équation montre clairement que l'inductance d'un solénoïde est

1. directement proportionnelle au carré du nombre de spires

2. directement proportionnelle à l'aire de la section transversale

3. inversement proportionnelle à la longueur du solénoïde.

Dans ces deux dernières parties, nous avons vu comment une f.é.m. induite dépend de divers paramètres physiques et comment elle s'oppose à la circulation du courant électrique dans le circuit. Cela montre la ressemblance de l'auto-inductance avec l'inertie correspondant à la masse d'un objet en mécanique. La quantité de travail effectuée par les charges électriques circulant dans la bobine contre la f.é.m. induite opposée pour maintenir le flux du courant électrique est stockée dans un inducteur sous forme d'énergie potentielle magnétique. Dans la partie suivante, nous étudierons l'énergie potentielle magnétique et son lien avec l'auto-inductance d'un inducteur.

Énergie potentielle magnétique et inductance

Lorsqu'un courant alternatif traverse un inducteur, le courant augmente de 0 à une certaine valeur maximale, disons \(I_0\). Soit \(I\) la valeur du courant traversant un inducteur à l'instant \(t\). En raison de la variation du courant électrique, une f.é.m. est induite dans l'inducteur. La magnitude de cette f.é.m. induite en termes d'inductance \(L\) est,

\[E_i=L\frac{dI}{dt}\tag{6}\]

Cette f.é.m. est également connue sous le nom de f.é.m. inverse car elle s'oppose à la circulation d'un courant électrique dans le circuit. Pendant le passage d'un courant alternatif dans l'inducteur, la quantité de courant augmente ou diminue à un rythme constant. Le travail effectué par la charge électrique pendant qu'elle circule dans l'inducteur contre cette f.m.e. induite est donc \(W=E_iq\).

En différenciant l'équation ci-dessus tout en maintenant constante la f.m.e. induite (en raison de la valeur constante de \(L\) et \(\frac{dI}{dt}\))

\[\frac{dW}{dt}=E_i\frac{dq}{dt}\]

où \(\frac{dq}{dt}\) est un courant électrique traversant l'inducteur.

\[\therefore\quad \frac{dW}{dt}=E_iI\tag{7}\]

D'après les équations (6) et (7)

\Si nous ignorons les pertes résistives, la quantité totale de travail effectuée par la charge électrique pour maintenir un courant électrique \(I\) à travers l'inducteur est la suivante

\[\begin{align*}\int dW&=\int_0^I LIdI\\W&=L\int_0^I IdI\\W&=L\frac{I^2}{2}\W&=\frac{1}{2}LI^2\tag{8}\end{align*}\]Ce travail effectué par la charge électrique est stocké dans l'inducteur sous forme d'énergie potentielle magnétique, à savoire. \(U_{L}=\frac{1}{2}LI^2\).

En mécanique, l'énergie cinétique d'une particule de masse \(\left(m\right)\) se déplaçant à une vitesse \(\left(v\right)\) est \(K=\frac{1}{2}mv^2\tag{9}\).

En comparant les équations (8) et (9), nous constatons que la masse est la mesure de l'inertie en mécanique et que l'inductance est, par analogie, la mesure de l'"inertie" en électronique.