Inertie Rotatoire

Définition de l'inertie de rotation

Nous allons commencer par définir l'inertie.

Nous mesurons généralement l'inertie avec la masse, ce qui est logique ; tu as déjà une compréhension conceptuelle de l'inertie parce que tu sais que les objets plus lourds sont plus difficiles à déplacer. Par exemple, un rocher résiste mieux au mouvement qu'une feuille de papier. Mais que se passe-t-il si l'objet ne se déplace pas sur une ligne mais qu'il tourne ? Il faut alors parler d'inertie derotation.

La masse est en quelque sorte la façon dont nous "mesurons" l'inertie. Mais l'expérience nous montre que tourner sur une chaise peut être plus ou moins facile selon la façon dont on se positionne sur la chaise. Par conséquent, l'inertie de rotation est liée à la masse et à la répartition de cette masse par rapport à l'axe de rotation.

De plus, même si nous avons fait référence à un objet ci-dessus, le terme le plus approprié est celui de système rigide.

Par exemple, tu peux pousser un morceau de gelée, et tout peut rester connecté, mais il peut être déformé à certains endroits ; ce n'est pas un système rigide. Alors que quelqu'un pourrait pousser un modèle de système solaire improvisé de CE2 sur une planète comme Jupiter, et tout ce qu'il ferait serait de tourner : sa forme resterait inchangée, les planètes s'aligneraient toujours autour du soleil, et il n'aurait que légèrement tourné.

Formules d'inertie de rotation

Nous exprimons mathématiquement l'inertie de rotation en tenant compte de la masse et de la façon dont cette masse se répartit autour de l'axe de rotation pour une seule particule :

$$I=mr^2$$

où \(I\) est l'inertie de rotation, \(m\) est la masse, et \(r\) est la distance par rapport à l'axe de rotation perpendiculaire de l'objet.

Fig. 2 - Cette image montre la vue supérieure et verticale des paramètres de la formule de l'inertie de rotation. Remarque que \(r\) est la distance par rapport à l'axe de rotation.

Somme des inerties de rotation

L'inertie de rotation totale d'un système rigide est obtenue en additionnant toutes les inerties de rotation individuelles des particules formant le système ; l'expression mathématique est la suivante

$$I_\text{tot} = \sum I_i = \sum m_i r_i ^2,$$

traduit ce concept où \(I_\text{tot}\) est l'inertie de rotation totale, \(I_i\) est chaque valeur de l'inertie de rotation de chaque objet, et \(m_i\) et \(r_i\) sont chaque valeur de la masse et de la distance par rapport à l'axe de rotation pour chaque objet.

Inertie de rotation d'un solide

En mettant en œuvre des intégrales, nous pouvons calculer l'inertie de rotation d'un solide composé de nombreuses masses différentielles différentes \(\mathrm{d}m\).

$$I=\int r^2 \mathrm{d}m$$$

est l'équation que nous pouvons utiliser, avec \(\mathrm{d}m\) comme chaque petit morceau de masse et \(r\) comme la distance perpendiculaire de chaque \(\mathrm{d}m\) à l'axe sur lequel le solide tourne.

Inertie de rotation et systèmes rigides

À mesure que la masse se rapproche de l'axe de rotation, notre rayon \(r\) devient plus petit, ce qui diminue considérablement l'inertie de rotation parce que \(r\) est au carré dans notre formule. Cela signifie qu'un cerceau ayant la même masse et la même taille qu'un cylindre aura plus d'inertie de rotation parce qu'une plus grande partie de sa masse est située plus loin de l'axe de rotation ou du centre de masse.

L'un des concepts clés que tu dois apprendre sur l'inertie de rotation est que l'inertie de rotation d'un système rigide dans un plan donné est minimale lorsque l'axe de rotation passe par le centre de masse du système. Et si nous connaissons le moment d'inertie par rapport à l'axe passant par le centre de masse, nous pouvons trouver le moment d'inertie par rapport à tout autre axe parallèle à celui-ci en utilisant le résultat suivant.

Voyons un exemple.

Exemples d'inertie de rotation

Bon, nous avons beaucoup parlé et expliqué mais peu appliqué, et nous savons que tu as besoin de beaucoup d'applications en physique. Prenons donc quelques exemples.

Exemple 1

Tout d'abord, nous allons faire un exemple en utilisant la formule suivante

$$I=mr^2\mathrm{.}$$$

À quel point serait-il difficile de faire tourner une boule d'attache (\N- 5,00\N,\Nmathrm{kg}\N) attachée par une corde (\N- 0,50\N,\Nmathrm{m}\N) à un poteau central ? (Suppose que la corde est sans masse).

Trouve l'inertie de rotation de la boule d'attache pour savoir s'il est difficile de la déplacer.

Fig. 4 - Nous pouvons trouver l'inertie de rotation de la balle au bout de la corde de la balle d'attache.

Rappelle l'équation de l'inertie de rotation,

$$I=mr^2\mathrm{,}$$$ et utilise-la pour ajouter les valeurs de l'inertie de rotation.

et utilise-la pour introduire les valeurs

$$m=5.00\,\mathrm{kg}$$

et

$$\begin{align*} r &= 0.50\\\N- \Nmathrm{m}\N- \Nmathrm{:} \N- I &= 5.00\N,\Nmathrm{kg}(0.50\N,\Nmathrm{m})^2 \N- \Nend{align*}}$$.

ce qui nous donne une réponse de

$$I=1.25\,\mathrm{kg\,m^2.}$$

Par conséquent, la balle serait \(1,25\N,\Nmathrm{kg\N,m^2}\Ndifficile à faire tourner. Cela peut te paraître bizarre à entendre parce qu'on ne parle jamais de choses difficiles à déplacer avec ce genre d'unité. Mais, en réalité, c'est ainsi que fonctionnent l'inertie de rotation et la masse. Elles nous donnent toutes deux une idée de la résistance d'un objet au mouvement. Par conséquent, il n'est pas inexact de dire qu'un rocher est difficile à déplacer ou qu'une boule d'attache est difficile à faire tourner.

Exemple 2

Maintenant, utilisons nos connaissances sur l'inertie de rotation et les sommations pour résoudre le problème suivant.

Inertie de rotation d'un disque

Nous pouvons calculer l'inertie de rotation d'un disque en utilisant notre équation normale d'inertie de rotation, mais avec un \(\frac{1}{2}\\) devant.

$$I_\text{disk}=\frac{1}{2}\\mr^2.$$

Applications de l'inertie de rotation

Comment toutes nos formules se rejoignent-elles ? Comment pouvons-nous utiliser nos connaissances pour prouver quelque chose ? L'étude approfondie qui suit contient une dérivation qui répondra à ces questions. Cela dépasse probablement le cadre de ton cours de physique AP C : Mécanique.

On peut dériver la formule de l'inertie de rotation d'un disque en mettant en œuvre des intégrales. Rappelle l'équation

$$I=\int r^2 \mathrm{d}m\mathrm{,}$$

qui décrit l'inertie de rotation d'un solide composé d'un grand nombre de petits éléments différents de masse \(\mathrm{d}m\).

Si nous considérons notre disque comme un grand nombre d'anneaux infiniment fins, nous pouvons additionner l'inertie de rotation de tous ces anneaux pour obtenir l'inertie de rotation totale du disque. Rappelle-toi que nous pouvons additionner des éléments infiniment petits à l'aide d'intégrales.

En supposant que la masse est uniformément répartie, nous pouvons trouver la densité de surface en divisant la masse par la surface \(\frac{M}{A}\). Chacun de nos petits anneaux serait composé d'une longueur de \(2\pi r\) et d'une largeur de \(\mathrm{d}r\), donc \(\mathrm{d}A = 2\pi r \mathrm{d}r\).

Nous savons que la variation de la masse par rapport à la surface \(\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}A}\) est \(\frac{M}{A}\) et nous savons également que \(A=\pi R^2,\) où \(R\) est le rayon de l'ensemble du disque. Nous pouvons alors utiliser ces relations

$$\frac{M}{\textcolor{#00b695}{A}}\\=\frac{\mathrm{d}m}{\textcolor{#56369f}{\mathrm{d}A}}\\$$

$$\frac{M}{\textcolor{#00b695}{\pi R^2}}\\ = \frac{\mathrm{d}m}{\textcolor{#56369f}{2\pi r \mathrm{d}r}\$$

en isolant \(\mathrm{d}m\) :

$$\begin{aligned}\mathrm{d}m &= \frac{2M\pi r \mathrm{d}r}{\pi R^2}\[8pt] \mathrm{d}m &= \frac{2M r \mathrm{d}r}{ R^2} \N-END{aligned}}$$

Maintenant que nous connaissons \(\mathrm{d}m\), nous pouvons l'introduire dans notre équation intégrale

$$I=\int r^2 \mathrm{d}m$$$

pour obtenir

$$I=\int r^2\frac{2M r \mathrm{d}r}{ R^2}\\mathrm{.}$$.

Nous intégrons de \(0\) à \(R\),

$$I=\frac{2M}{R^2}\\Nint_0^R r^3 \mathrm{d}r\mathrm{,}$$

car nous voulons aller du centre du disque \(r=0\) jusqu'au bord, ou le rayon du disque entier \(r=R\). Après avoir intégré et évalué aux \( r-\text{valeurs} \) correspondants, nous obtenons :

$$I=\frac{2M}{R^2}\\ \frac{R^4}{4}\\N- 0.$$

Si l'on simplifie l'expression précédente, on obtient l'équation de l'inertie de rotation d'un disque :

$$I=\frac{1}{2}\\MR^2\mathrm{.}$$

La dérivation ci-dessus montre l'utilité de l'inertie de rotation et de ses différentes formules. Tu es maintenant prêt à prendre le monde à bras-le-corps ! Tu es maintenant prêt à t'attaquer à l'inertie de rotation et à des choses telles que le couple et le mouvement angulaire. Si tu as déjà participé à un concours de rotation de chaise de bureau, tu sais comment gagner. Il te suffit de rapprocher ta masse de l'axe de rotation, alors rentre tes bras et tes jambes !