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Comment décrire un gaz ?
Au total, il existe quatre états fondamentaux de la matière, le gaz est l'un d'entre eux. Pour comprendre le modèle des gaz idéaux, il faut d'abord définir ce qu'est exactement un gaz.
Legaz est un ensemble de molécules (ou d'atomes) en mouvement aléatoire continu, dont la vitesse moyenne augmente avec la température.
Un gaz diffère d'un liquide en ce sens que, sauf en cas de collision, les molécules d'un gaz sont largement séparées et se déplacent sur des trajectoires qui ne sont pas affectées par les forces intermoléculaires. L'air, l'oxygène et la vapeur d'eau sont des exemples quotidiens de gaz.
Les trois autres états fondamentaux de la matière sont le solide, le liquide et le plasma !
Signification du modèle des gaz idéaux
Le modèle des gaz idéaux nous permet de comprendre le comportement des gaz. Même si aucun gaz n'est idéal dans le monde réel, la simplification du concept permet d'obtenir de bonnes approximations du comportement des gaz réels dans la plupart des conditions. L'étude du comportement des gaz a permis de faire certaines généralisations. Ces généralisations sont appelées lois des gaz. Ces lois sur les gaz donnent des relations quantitatives entre deux variables quelconques lorsque les deux autres sont maintenues constantes. Discutons des différentes lois sur les gaz en détail.
Hypothèses du modèle des gaz idéaux
Si l'on considère que le modèle des gaz idéaux se réfère à un système hypothétique, certaines hypothèses doivent être respectées pour assurer la cohérence. Les quatre principales hypothèses sont :
Un gaz idéal est composé de nombreuses molécules identiques en forme de points, réparties vraiment très loin les unes des autres, de sorte que les forces intermoléculaires sont négligeables ;
Les molécules de gaz idéal subissent des mouvements aléatoires et obéissent aux lois du mouvement de Newton ;
Les molécules de gaz idéal subissent des collisions élastiques avec les parois du récipient dans lequel elles se trouvent ;
Les molécules de gaz idéal ne subissent que des collisions complètement élastiques entre elles.
La première loi du modèle des gaz idéaux
La première loi du modèle des gaz idéaux a été définie par le physicien anglo-irlandais Robert Boyle. Boyle a étudié la relation entre la pression et le volume d'une masse donnée d'un gaz à une température constante. Cette relation est connue sous le nom de Loi de Boyle.
Laloi de Boyle stipule qu'à température constante, le volume d'une quantité fixe d'un gaz est inversement proportionnel à sa pression.
Mathématiquement, la loi de Boyle peut être exprimée comme suit,
$$ V \propto \frac{1}{p}}$$$
où \(V\) est le volume, et \(p\) est la pression. Nous pouvons maintenant insérer une constante de proportionnalité pour en faire une équation. Appelons cette constante de proportionnalité \(k\). Note que \(k\) dépend de la quantité de gaz et de la température. La nouvelle expression devient
$$ V = \frac{k}{p} $$
ou peut être réarrangée comme suit
$$p \, V = k$$$
Cela signifie que le produit de la pression et du volume d'une quantité fixe de gaz à une température constante est constant. Un exemple de ce comportement des gaz est visible dans la figure ci-dessous.
Fig 1 - Un exemple pratique de la loi de Boyle. Au fur et à mesure que le volume du gaz dans le récipient diminue, la pression augmente, ce qui prouve la proportionnalité inverse des deux variables.
Soit \(V_1\) le volume d'une quantité donnée de gaz à la pression \(p_1\) et à une température donnée \(T\). Lorsque la pression passe à \(p_2\) à la même température, le volume passe à \(V_2\). Selon la loi de Boyle,
$$p_1 \, V_1 = k. $$$
Remarque que nous n'avons pas changé la quantité de gaz ou la température, donc notre constante de proportionnalité reste la même, donc
$$p_2 \, V_2 = k. $$
En combinant ces deux résultats, on obtient
$$p_1 \, V_1 =k= p_2 \, V_2$$$.
ou
$$p_1 \, V_1 = p_2 \, V_2.$$
Cette dernière équation est une reformulation un peu plus utile de la loi de Boyle.
Un récipient d'un volume de \(120 \N, \Nmathrm{mL}\N) contient du gaz à \N(35 \N, \Nmathrm{ ^\Ncirc C}\N) et \N(1,2 \N, \Nmathrm{bar}\N) de pression. Le gaz est transféré dans un autre récipient de volume \(180 \N, \Nmathrm{mL}\N) à \N(35 \Nmathrm{ ^\Ncirc C}\N) et se dilate pour remplir complètement le récipient. Quelle est sa pression dans ce nouveau récipient ?
Ce problème est basé sur l'équation de la loi de Boyle !
Solution
Comme la température et la quantité de gaz restent constantes, nous pouvons appliquer la loi de Boyle. Soit \(p_1 = 1,2 \, \mathrm{bar}\), \(V_1=120 \, \mathrm{mL}\), et \(V_1=180 \, \mathrm{mL}\), alors :
$$p_1 \, V_1 = p_2 \, V_2$$.
$$ 1.2 \N- \N- \N- \N- \N- \NMathrm{bar} \cdot 120 \c, \mathrm{mL} = p_2 \cdot 180 \c, \mathrm{mL} $$.
$$ p_2 = \frac{1.2 \N, \Nmathrm{bar} \cdot 120 \cathrm{\cancel{mL}}{180 \cathrm{\cancel{mL}}}$$.
$$ p_2 = 0.8 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- $$$
Nous avons utilisé le \(\mathrm{bar}\) comme unité de pression, qui est liée à l'unité de pression SI Pascal \((\mathrm{Pa})\) comme \(1\;\mathrm{bar}=100\;000\ ; \mathrm{Pa}\).
Le modèle des gaz idéaux Deuxième loi
La deuxième loi du modèle du gaz idéal est la loi de Charles. Charles a étudié l'effet de la température sur le volume des gaz à pression constante. Il a observé la généralisation suivante sur la relation entre le volume et la température du gaz, connue sous le nom de loi de Charles.
Laloi de Charles stipule qu'à pression constante, le volume d'une masse donnée d'un gaz est directement proportionnel à la température absolue.
Loi de Charles en degrés Kelvin
En 1848, un scientifique britannique, Lord Kelvin, a proposé une nouvelle échelle de température connue sous le nom d'échelle absolue de température. Elle commence au zéro absolu, \(0^\circircmathrm{K}\), où les particules ont une énergie cinétique nulle. L'incrément est le même que pour l'échelle Celsius, donc \(1^ircc\mathrm{K}=1^ircc\mathrm{C}.\NLa température Kelvin est également appelée l'échelle thermodynamique de la température et est utilisée dans toutes les mesures scientifiques. Cela a permis de simplifier la relation entre la température et le volume gazeux.
Le zéro absolu, ou \(0^\circircmathrm{K} \), est équivalent à \(-273,15^\circmathrm{K} \circmathrm{K}). Par conséquent, pour convertir une température en degrés Celcius, \(T_\mathrm{C}\) en degrés Kelvin \(T_\mathrm{K}\), nous pouvons utiliser la formule :
$$T_K=T_C+273.15$$.
La loi de Charles peut être exprimée en degrés Kelvin. Supposons que
$$T_0=0^\circ\mathrm{C}=273.15^\circ\mathrm{K}$$
où \(T_0\) est la température initiale, et donc \(V_0\) est le volume initial d'un gaz donné à cette température initiale. D'après la définition de la loi de Charles, si la température augmente de \(1 \, ^\circ\mathrm{K} \), le volume augmentera proportionnellement de :
$$ V_0 \cdot \frac{1}{T_0}$$.
Par conséquent, si la température augmente de \(t\), le volume augmentera de
$$ \Delta V = V_0 \cdot \frac{1}{T_0} \cdot t.$$
Disons que \(V_\mathrm{T}\) est le volume à n'importe quelle température \(T\), et \(t\) est la différence entre la température initiale \(T_0\) et la température finale \(T\), donc :
$$t=T-T_0$$.
Le volume final \(V_\mathrm{T}\) est la somme du volume initial et de l'augmentation de volume, on obtient donc :
$$V_\mathrm{T} = V_0 + \frac{V_0 \cdot t}{T_0} = V_0 \left [ 1+\frac{t}{T_0} \right ] $$.
où le terme entre crochets peut être développé et exprimé en degrés Kelvin
$$ \left [ 1+\frac{t}{T_0} \right ] = \frac{T_0 + t}{T_0}=\frac{T_0 + (T-T_0)}{T_0}= \frac{T}{T_0} $$
Les volumes et les températures peuvent maintenant être combinés dans l'expression suivante
$$V_\mathrm{T}=\frac{V_0 \, T}{T_0}$$$
$$ \frac{V_\mathrm{T}}{V_0} = \frac{T}{T_0}$$$
$$\frac{V_\mathrm{T}}{T} = \frac{V_0}{T_0}$$.
Ainsi ,
$$\frac{V}{T} = \mathrm{constante} = k_2$$
où \(k_2\) est une constante qui dépend de la pression et de la masse du gaz, ainsi que des unités de volume. L'expression ci-dessus peut être réécrite comme suit
$$ V = k_2 \, T $$$
$$ V \propto T $$
et est visualisée dans la figure ci-dessous.
Fig 2 - Un exemple pratique de la loi de Charles. Lorsque la température du gaz dans le récipient augmente, le volume augmente également, ce qui prouve la proportionnalité directe, Wikimedia Commons.
La loi de Charles peut également être exprimée comme le volume d'une masse fixe d'un gaz étant directement proportionnel à la température absolue, tandis que la pression reste constante . La formule de travail de la loi de Charles est la suivante :
$$ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} = \mathrm{constante}. $$
Un échantillon d'hélium a un volume de \(520 \N, \Nmathrm{mL}\N) à \N(100 \Nmathrm{ ^\Ncirc C}\N). Calcule la température à laquelle le volume deviendra \(260 \N, \Nmathrm{mL}\N). Suppose que la pression est constante.
Ce problème est basé sur la loi de Charles et l'application de la formule de la loi de Charles !
Solution
Les valeurs qui nous sont données
$$V_1 = 520 \, \mathrm{mL}, V_2= 260 \, \mathrm{mL},$$$.
$$T_1 = 100 + 273 = 373 \N, \Nmathrm{K},$$
nous devons trouver la valeur de \(T_2\).
La pression reste donc constante, en appliquant la loi de Charle :
$$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$$.
$$T_2 = \frac{V_2 \, T_1}{V_1}$$$
$$T_2 = \frac{260 \, \mathrm{\cancel{mL}} \cdot 373 \c, \mathrm{K}}{520 \c, \mathrm{\cancel{mL}}$$$.
$$ T_2 = 186.5 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- $$$
En degrés centigrades, c'est
$$ t = 186,5 -273,15 = -86,65 \mathrm{ ^\circ C}.$$
Le modèle des gaz idéaux Troisième loi
La troisième loi du modèle des gaz idéaux est la loi de Gay-Lussac. Elle définit la relation entre la pression et la température et a été découverte par Joseph Gay-Lussac.
À volume constant, la pression d'une quantité fixe de gaz varie directement avec la température, c'est ce qu'on appelle la loi de Gay-Lussac.
Mathématiquement, elle peut être exprimée comme suit ,
$$p \propto T $$
où la pression \(p\) est directement proportionnelle à la température \(T\). À partir des conditions de proportionnalité, nous pouvons arriver à la conclusion que,
$$ \frac{p}{T} = \mathrm{constante} = k_3 $$
$$ \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}. $$
L'équation ci-dessus a été obtenue en combinant la loi de Boyle et la loi de Charles.
Quatrième loi du modèle des gaz idéaux
La quatrième loi du modèle des gaz idéaux est la loi d'Avogadro. Amadeo Avogadro a étudié la relation entre le volume d'un gaz et le nombre de molécules à température et pression constantes. Cette relation a été acceptée comme une loi et est connue sous le nom de loi d'Avogadro.
Des volumes égaux de tous les gaz dans les mêmes conditions de température et de pression contiennent un nombre égal de molécules - c'est ce qu'on appelle la loi d'Avogadro.
Mathématiquement, la loi d'Avogadro peut être exprimée comme suit, où \((V)\) représente le volume et \((n)\) le nombre de moles.
$$V \propto n. $$
En d'autres termes, le volume est directement proportionnel au nombre de moles alors que la température et la pression restent constantes, ce qui implique :
$$V = k_4 \cdot n$$.
$$\frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2} = \mathrm{constante} = k_4.$$
A partir de cette expression, on obtient l'équation finale
$$ \frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2} $$
Le nombre de molécules dans une mole de gaz a été déterminé comme étant \(6,022 \cdot 10^{23}\) et est connu sous le nom de constante d'Avogadro \(N_\mathrm{A}\).
La loi des gaz idéaux
Toutes les lois mentionnées ci-dessus peuvent être combinées sous la forme d'une loi singulière. Les propriétés macroscopiques d'un gaz idéal sont liées par la loi des gaz idéaux.
La loi des gaz idéaux est une approximation utilisée pour résoudre les problèmes impliquant la température, la pression et le volume des gaz. C'est une combinaison des lois créées par Boyle, Charles, Gay Lussac et Avogadro.
Mathématiquement, elle peut être exprimée comme suit
$$ pV = nRT $$
où le volume \(V\) d'un gaz dépend du nombre de moles \(n\), de la pression \(p\) et de la température \(T\). Ici, \(R\) est la constante universelle des gaz égale à \(8,314 \, \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol \cdot K}}\).
Le modèle des gaz idéaux Thermodynamique
La loi des gaz idéaux définit le comportement des gaz idéaux en fonction de leur pression, de leur volume et de leur température. Tu sais peut-être que la thermodynamique est l'étude de la relation entre la chaleur et les autres formes d'énergie. L'un des fondateurs de la thermodynamique, le physicien allemand Julius von Mayer, a découvert que la chaleur ajoutée à un gaz a une équivalence en travail mécanique. En d'autres termes, on peut définir une relation entre la quantité d'énergie transférée à un gaz et le changement de température correspondant en utilisant la capacité thermique spécifique du gaz.
Selon que le gaz est maintenu à un volume constant ou que le récipient est autorisé à se dilater et que le gaz reste à une pression constante, la capacité calorifique spécifique a des valeurs différentes :
$$C_p=\mathrm{Spécifique}\;\mathrm{chaleur}\;\mathrm{capacité}\;\mathrm{at}\;\mathrm{constant}\;\mathrm{pression}$$$.
$$C_v=\mathrm{Spécifique}\\N;\mathrm{chaleur}\N;\mathrm{capacité}\N;\mathrm{at}\N;\mathrm{constante}\N;\mathrm{volume}$$
La quantité d'énergie thermique transférée au gaz en joules \((\mathrm{J})\) est alors donnée par \(Q_p\) (à pression constante) ou \(Q_v\) (à volume constant).
$$Q_p=mC_p\NDelta T$$
Q_v=mC_v\Delta T
Où \(m\) est la masse de gaz en \(\mathrm{kg}\) et \(\Delta T\) est le changement de température en \(^\circ \mathrm{K}.\).
La loi des gaz idéaux peut être utilisée pour représenter le changement de température en termes de changements de pression ou de volume, ce qui est utile pour analyser les cycles thermodynamiques tels que le cycle d'Otto ou le cycle diesel.
Les équations du modèle des gaz idéaux
Le modèle des gaz idéaux comporte un ensemble de quatre équations principales qui sont largement utilisées pour tout type de calculs et de mesures. L'ensemble de ces équations constitue la loi des gaz idéaux. Toutes ces équations sont dérivées et expliquées ci-dessus et sont compilées ici pour en faciliter l'accès et la compréhension.
- Loi des gaz idéaux (pV=nRT\)
- Loi de Boyle (relation pression-volume) : \N(p_1 \N, V_1 = p_2 \N, V_2 \N)
- Loi de Charles (relation volume-température) : \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\)
- Loi de Gay Lussac (relation pression-température) : \(\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}\)
- Loi d'Avogadro (relation entre le volume et la quantité) : \(\frac{V_1}{n_1} = \frac{V_2}{n_2}\)
Fig 3 - Toutes les relations du modèle des gaz idéaux sont liées entre elles, car elles décrivent toutes le comportement des gaz en fonction de paramètres variables.
Le modèle des gaz idéaux - Principaux enseignements
- Le gaz est une phase de la matière qui n'a pas de forme, mais qui peut occuper tout l'espace dans lequel il se trouve.
- Quatre lois principales régissent les gaz idéaux : la loi de Boyle, la loi de Charle, la loi de Gay Lussac et la loi d'Avogadro.
- La loi de Boyle traite de la relation pression-volume.
- La loi de Charle traite de la relation entre le volume et la température.
- La loi deGay Lussac traite de la relation pression-température.
- La loi d'Avogadro traite de la relation volume- quantité.
- La loi des gaz idéaux est une combinaison des quatre lois primaires qui régissent les gaz idéaux.
- La loi des gaz idéaux est une approximation utilisée pour résoudre les problèmes impliquant la température, la pression et le volume des gaz.
Références
- Figure 1 - Boyle's law final.gif from (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Boyle%27s_law_final.gif) licensed by (Public Domain)
- Figure 2 - Loi de Charles et Gay-Lussac animée.gif de (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Charles_and_Gay-Lussac%27s_Law_animated.gif) sous licence (domaine public)
- Figure 3 - Ideal gas law relationships.svg from (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ideal_gas_law_relationships.svg) licensed by CC BY_SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en)
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