Loi de Biot-Savart

Définition de la loi de Biot-Savart

Avant de comprendre la loi de Biot-Savart, expliquons brièvement ce que l'on entend par champ magnétique

Hans Christian Oersted a découvert l'effet magnétique d'un fil conducteur de courant. L'expérience d'Oersted confirme la formation d'un champ magnétique autour d'un fil conducteur de courant par la déviation d'une aiguille aimantée placée près du fil.

La loi de Biot-Savart permet de calculer le champ magnétique autour de ce fil conducteur.

Dérivation de la loi de Biot-Savart

Considérons un petit élément de courant \(\mathrm{AB}\) d'un fil conducteur \(\mathrm{XY}\) transportant un courant \(I\). La longueur d'un élément infiniment petit est \(\mathrm{d}\vec{l}\). Soit \(\vec{r}\) le vecteur de position d'un point d'observation P à partir de l'élément actuel. Soit \(\theta\) l'angle entre \(\mathrm{d}\vec{l}\) et \(\vec{r}\).

Fig. 2 - La figure montre un petit élément de courant sur un fil conducteur transportant un courant \(I\) et un point d'observation P pour un champ magnétique induit.

La loi de Biot-Savart stipule que le champ magnétique induit au point P par un fil conducteur est

1. directement proportionnel au courant \(I\),

2. directement proportionnel à la longueur d'un élément de courant \(\mathrm{d}\vec{l}\),

3. directement proportionnelle au sinus de l'angle entre \(\vec{r}\) et \(\mathrm{d}\vec{l}\),

4. inversement proportionnel au carré du vecteur de position, c'est-à-dire \(r^2\).

La forme mathématique de la loi de Biot-Savart est la suivante

\[\mathrm{d}\vec{B}\propto\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(\theta\right)}}{r^2}\]

ou

\[\mathrm{d}B=K\frac{I\mathrm{d}l\sin{\left(\theta\right)}}{r^2}\]

Où \(K\) est une proportionnalité dont la valeur dépend du milieu entre le point P et l'élément courant \(\mathrm{d}\vec{l}\). Elle est définie comme suit : \[K=\frac{\mu_0}{4\pi},\]

où \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T\,A^{-1}\Nm^{-1}}\) est la perméabilité magnétique de l'espace libre/vide.

Formule de la loi de Biot-Savart

Voyons comment la loi de Biot-Savart peut nous donner une formule pour le champ magnétique total autour d'un fil conducteur de courant.

Principe de superposition

La loi de Biot-Savart suit le principe de superposition. Selon cette loi, le champ magnétique net au point dû à plusieurs éléments de courant est la somme algébrique d'un champ magnétique dû à chaque élément de courant.

Let \(\mathrm{d}\vec{B_1},\mathrm{d}\vec{B_2},\mathrm{d}\vec{B_3},...\) et ainsi de suite sont le champ magnétique au point P dû aux éléments de courant \(I\mathrm{d}\vec{l_1},I\mathrm{d}\vec{l_2},I\mathrm{d}\vec{l_3},...\N) et ainsi de suite. Le champ magnétique net au point P est alors

\[\mathrm{d}\vec{B}=\mathrm{d}\vec{B_1}+\mathrm{d}\vec{B_2}+\mathrm{d}\vec{B_3}+...\]

Cette équation illustre le principe de superposition/addition de vecteurs.

Lorsque l'on considère le champ magnétique sur une longueur de fil comme nous le faisons dans la loi de Biot-Savart, nous divisons le fil en éléments de longueur infinitésimale \(\mathrm{d}\vec{l}\). Chacune de ces longueurs infinitésimales apporte une contribution au champ magnétique de :\[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(\theta\right)}}{r^2}\].

Pour trouver le champ magnétique global d'un fil, nous utilisons le principe de superposition en intégrant sur la longueur du fil :

\[\vec{B}(\vec{r})=\int\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(\theta\right)}}{r^2}\]

Direction du champ magnétique

Dans la loi de Biot-Savart, le champ magnétique dû à un conducteur porteur de courant est donné par

\[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}\]

Cette équation montre que la direction d'un champ magnétique est le long de la direction d'un produit en croix \(I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{r}\). Pour trouver la direction de ce produit en croix, nous pouvons utiliser la règle de la main droite.

Pour le cas illustré à la figure 2, en utilisant la règle de la main droite, l'enroulement de tes doigts se fait dans le sens des aiguilles d'une montre sur le plan contenant \(\mathrm{d}\vec{l}\) et \(\vec{r}\). La direction de \(\mathrm{d}\vec{B}\) est donc perpendiculaire au plan et dirigée vers l'intérieur.

Dans le cas où \(\theta=0^\circ\)

La direction de l'élément de courant \N(\Ngauche(\Nmathrm{d}\Nvec{l}\Ndroite)\N) est le long de la direction du vecteur de position \N(\Nvec{r}\N), alors

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(0^\circ\right)}}{r^2}\\ xml-ph-0001@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B}&=0 xml-ph-0002@deepl.internal \end{align*}\]

Cela donne la valeur minimale d'un champ magnétique.

Dans le cas où \(\theta=90^\circ\)

La direction de l'élément de courant \\N(\Ngauche(\Nmathrm{d}\Nvec{l}\Ndroite)\N) est perpendiculaire au vecteur de position de direction \N(\Ngauche(\Nvec{r}\Ndroite)\N), alors

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(90^\circ\right)}}{r^2}\\ xml-ph-0001@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}}{r^2} xml-ph-0000@deepl.internal \end{align*}\]

Cela donne la valeur maximale d'un champ magnétique.

Loi de Biot-Savart et loi de Coulomb

Selon la loi de Biot-Savart, le champ magnétique autour d'un élément porteur de courant \(\gauche(I\mathrm{d}\vec{l}\ droite)\) à une distance de \(r\) est de

\[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}}{r^2}\]

ou

\[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}\]

Selon la loi de Coulomb, le champ électrique autour d'une charge électrique \(q\) à une distance de \(r\) est

\[E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\]

ou

\[\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r}\]

Voici quelques-unes des principales similitudes entre la loi de Biot-Savart et la loi de Coulomb,

1. Dans les deux lois, les champs sont inversement proportionnels au carré de la distance entre la source (qui génère le champ) et le point de test (où le champ est mesuré).

2. Les deux lois obéissent au principe de superposition.

3. Dans la loi de Biot-Savart, le champ magnétique varie directement avec sa source, qui est l'élément de courant \(\left(Idl\right)\), et dans la loi de Coulomb, le champ électrique varie directement avec sa source, qui est la charge électrique \(\left(q\right)\).

Voici quelques-unes des principales différences entre la loi de Biot-Savart et la loi de Coulomb,

Applications de la loi de Biot-Savart

La loi de Biot-Savart a plusieurs applications, mais la plus importante est qu'elle permet de calculer le champ magnétique dû à un élément de courant, quelle que soit sa configuration. En d'autres termes, la loi de Biot-Savart est indépendante de la configuration du fil qui transporte le courant. Dans cet article, nous allons calculer le champ magnétique induit dû à un fil droit parcouru par un courant et à un courant parcouru par une bobine circulaire en utilisant la loi de Biot-Savart.

Pour un fil droit parcouru par un courant

Imaginons un fil droit XY parcouru par un courant \(I\) dans un plan. Soit P un point perpendiculaire au fil sur un plan à une distance de \(r\) du fil et \(I\mathrm{d}\vec{l}\) un petit élément de courant.

Soit \(\vec{r}'\) le vecteur position du point P par rapport à l'élément de courant.

Fig. 4 - La figure montre un fil droit parcouru par un courant et un point d'observation P situé à une distance de \(r\) du fil.

Dans le diagramme, on peut voir que \N(\Ntheta\N) est un angle entre le vecteur de position \N(\Nvec{r}'\N) et un élément de courant \N(I\Nmathrm{d}\Nvec{l}\N) et que \N(\Nphi\N) est un angle entre le vecteur de position \N(\Nvec{r}'\N)et \N(\Nvec{r}\N)et le vecteur de position \N(\Nmathrm{d}\Nvec{l}\N).

Selon la loi de Biot-Savart, le champ magnétique \(\mathrm{d}B\) en un point P dû à l'élément de courant \(I\mathrm{d}\vec{l}\) est\[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{r}'}{r'^3}\Note : \mathrm{d}\vec{r}'}]

or xml-ph-0000@deepl.internal \[\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\theta}}{r'^2}\tag{1}\]

A partir d'un triangle rectangle CPO,

\[\begin{align*}\theta+\phi+90^{\circ} &=180^\circ\\\N\theta &=90^{\circ}-\phi\end{align*}\N]

En substituant cette valeur de \(\theta\) dans l'équation (1), \[\begin{align*}\mathrm{d}\vec{B} &=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{90^{\circ}-\phi}}{r'^2}\\ xml-ph-0000@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B} &=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\cos{\phi}}{r'^2}\tag{2} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\]

Aussi dans le triangle CPO \[\begin{align*}\cos{\phi}&=\frac{r}{r'}\\r'&=\frac{r}{\cos{\phi}}\tag{3}\end{align*}\].

Et \[\begin{align*}\tan{\phi}&=\frac{l}{r}\\l&=r\tan{\phi}\tag{4}\end{align*}\].

En différenciant l'équation (4) \[\mathrm{d}l=r\sec^2{\phi}d\phi\tag{5}\]

En utilisant les équations (3) et (5), l'équation (2) devient\[\big{align*}\mathrm{d}B &= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Ir\sec^2{\phi}\cos{\phi}{\frac{r^2}{cos^2{\phi}}\mathrm{d}\phi\\\\mathrm{d}B &= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Ir\cos{\phi}\mathrm{d}\phi} {\cos^2{\phi}\frac{\cos^2{\phi}}{r^2}\\mathrm{d}B &= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r}cos{\phi}\mathrm{d}\phi\tag{6}\end{align*}\]

En intégrant l'équation (6) avec les limites \(-\phi_1\) et \(+\phi_2\), le champ magnétique au point P dû à une droite entière est

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal \int_{-\phi_1}^{\phi_2} \mathrm{d}B &= \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r} \int_{-\phi_1}^{\phi_2} \cos{\left(\phi\right)} \mathrm{d}\phi\\ xml-ph-0000@deepl.internal B&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r}\left[\sin{\phi}\right]_{-\phi_1}^{\phi_2}\\ xml-ph-0001@deepl.internal B&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r}\left(\sin{\left(\phi_2\right)}-\sin{\left(-\phi_1\right)}\right)\\ xml-ph-0000@deepl.internal B&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r}\left(\sin{\left(\phi_2\right)}+\sin{\left(\phi_1\right)}\right)\end{align*}\]Cette équation donne le champ magnétique au point P dû à un fil droit fini XY transportant du courant.

Supposons que le conducteur XY soit de longueur infinie. Dans ce cas \(\phi_1=\phi_2=90^\circ\), le champ magnétique au point P deviendra

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal B&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r}\left(\sin{\left(90^\circ\right)}+\sin{\left(90^\circ\right)}\right)\\ xml-ph-0001@deepl.internal B&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{r}2\\ xml-ph-0000@deepl.internal B&=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{r} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\]

La direction de ce champ magnétique est perpendiculaire au plan contenant le fil et un point d'observation.

Bobine circulaire porteuse de courant

Supposons qu'une bobine circulaire de rayon \(r\) soit placée perpendiculairement au plan du papier. \(I\) est le courant qui traverse la bobine. Supposons qu'un point d'observation P se trouve sur le papier à une distance de \(x\) du centre de la bobine (disons O).

Fig. 5 - La figure montre le champ magnétique au point P dû à une bobine circulaire parcourue par un courant.

Sur le schéma, nous pouvons voir que le courant sur le fil est perpendiculaire au vecteur position \(\vec{MP}\). Ainsi, l'angle entre \(I\mathrm{d}\vec{l}\) et \(\vec{MP}\) est \(90^\circ\).

En utilisant la loi de Biot-Savart, le champ magnétique au point P dû à un petit élément de courant au point M dans le diagramme est

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(90^\circ\right)}}{\left(\sqrt{r^2+x^2}\right)^2}\\ xml-ph-0001@deepl.internal \mathrm{d}\vec{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}}{\left(r^2+x^2\right)}\tag{7} xml-ph-0000@deepl.internal \end{align*}\]

En utilisant la règle de la main droite, la direction de ce champ magnétique est perpendiculaire au plan contenant l'élément de courant \(I\mathrm{d}\vec{l}\) à M et un vecteur de position \(\vec{MP}\).

En résolvant ce champ magnétique le long des axes X et Y comme indiqué sur la figure, nous obtenons \(\mathrm{d}B\cos{\left(\phi\right)}\) le long de l'axe Y et \(\mathrm{d}B\sin{\left(\phi\right)}\) le long de l'axe X.

De même, en raison d'un élément de courant à N, la composante d'un champ magnétique est \(-\mathrm{d}B\cos{\left(\phi\right)}\) le long de l'axe Y et \(\mathrm{d}B\sin{\left(\phi\right)}\) le long de l'axe X.

Par conséquent, le champ magnétique net le long de l'axe Y est le suivant

\[\mathrm{d}B_{\mathrm{y}}=\mathrm{d}B\cos{\left(\phi\right)}-\mathrm{d}B\cos{\left(\phi\right)}=0\]

Et le champ magnétique le long de l'axe X est

\[\mathrm{d}B_{\mathrm{x}}=\mathrm{d}B\sin{\left(\phi\right)}+\mathrm{d}B\sin{\left(\phi\right)}=2\mathrm{d}B\sin{\left(\phi\right)}\]

Ainsi, le champ magnétique net au point P dû à l'élément de courant en M et à son alternance sur la bobine (c'est-à-dire en N) est de

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal \mathrm{d}B_{\mathrm{net}}&=\mathrm{d}B_{\mathrm{y}}+\mathrm{d}B_{\mathrm{x}}\\ xml-ph-0001@deepl.internal \mathrm{d}B_{\mathrm{net}}&=0+2\mathrm{d}B\sin{\left(\phi\right)}\\ xml-ph-0000@deepl.internal \mathrm{d}B_{\mathrm{net}}&=2\mathrm{d}B\sin{\left(\phi\right)}\tag{8} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\]

En utilisant l'équation (7), l'équation (8) devient

\[\mathrm{d}B_{\mathrm{net}}=2\times \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\sin{\left(\phi\right)}}{\left(r^2+x^2\right)}\]

D'après le triangle MPO, \(\sin{\left(\phi\right)}=\frac{r}{\sqrt{r^2+x^2}}\), \(\mathrm{d}B_{\mathrm{net}}\) devient donc

\[\mathrm{d}B_{\mathrm{net}}=2\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Ir\mathrm{d}\vec{l}}{\left(r^2+x^2\right)^{3/2}}\]

Pour la demi-bobine porteuse de courant et sa partie alternative (une autre moitié de la bobine), le champ magnétique net au point P est de

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal \int \mathrm{d}B_{\mathrm{net}}&=2\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Ir}{\left(r^2+x^2\right)^{3/2}}\int \mathrm{d}\vec{l}\\ xml-ph-0001@deepl.internal B_{\mathrm{net}}&=2\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Ir}{\left(r^2+x^2\right)^{3/2}}\pi r\\ xml-ph-0000@deepl.internal B_{\mathrm{net}}&=\frac{\mu_0}{2}\frac{Ir^2}{\left(r^2+x^2\right)^{3/2}} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\]

Si le point P est au centre d'une bobine, c'est-à-dire \(x=0\), le champ magnétique net au point P dû à une bobine circulaire porteuse de courant est le suivant

\[\begin{align*} xml-ph-0000@deepl.internal B_{\mathrm{net}}&=\frac{\mu_0}{2}\frac{Ir^2}{\left(r^2+0\right)^{3/2}}\\ xml-ph-0001@deepl.internal B_{\mathrm{net}}&=\frac{\mu_0}{2}\frac{Ir^2}{r^3}\\ xml-ph-0000@deepl.internal B_{\mathrm{net}}&=\frac{\mu_0}{2}\frac{I}{r} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\]

Pour \(n\) nombre de tours dans la bobine

\[B_{\mathrm{net}}=\frac{\mu_0}{2}\frac{nI}{r}\]

Cette équation indique le champ magnétique au centre de la bobine porteuse de courant ayant \(n\N) nombre de spires qui est calculé à l'aide de la loi de Biot-Savart.En conclusion, la loi de Biot-Savart aide à calculer le champ magnétique dû à un conducteur porteur de courant, quelle que soit sa configuration.