Module de Young

Formule du module de Young

Le module d'élasticité E peut être exprimé comme la contrainte divisée par la déformation, comme le montre la formule ci-dessous.

\[\text{modulus de Young }[N/m^2] = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta L}{L_0}} = \frac{FL_0}{A \Delta L}\]

Les unités du module d'Young sont les mêmes que celles de la contrainte, ^N/m2, ce qui équivaut à Pa (pascal) . Comme le module d'élasticité est généralement un très grand nombre de l'ordre de¹⁰⁹, il est souvent exprimé en giga pascals, sous la forme GPa.

\[\text{module de Young} = \frac{FL_0}{A \Delta L} = \frac{F[N] L_0[m]}{A[m^2]\Delta L[m]} = \frac{N}{m^2} = Pa\]

Quel est le lien entre le module de Young et la loi de Hooke ?

La loi de Hooke stipule que la force agissant sur un corps ou un ressort créant un déplacement Δx, est linéaire par rapport au déplacement créé, comme le montre l'équation ci-dessous, où k est une constante relative à la rigidité du ressort. La loi de Hooke peut être appliquée aux situations où un corps se déforme de façon élastique.

\N- F = k \NDelta x\N]

Comme la loi de Hooke, où l'extension ou la compression d'un ressort est linéairement proportionnelle à la force appliquée, la contrainte appliquée sur un corps est linéairement proportionnelle au module de Young E, comme le montre l'équation réarrangée ci-dessous.

\[\sigma = E \varepsilon\]

Calculer graphiquement le module de Young

Comme le module d'élasticité d'un matériau est linéairement proportionnel à la contrainte appliquée divisée par la déformation, le module de Young peut également être calculé à partir d'un graphique contrainte-déformation, qui décrit une déformation linéaire telle que définie par la loi de Hooke. Le module de Young est égal à la pente de la région linéaire de la courbe contrainte-déformation, comme le montre la figure ci-dessous.

Expériences pour démontrer le module d'Young

Pour mesurer le module d'Young d'un métal, on peut réaliser plusieurs expériences. Des charges variables seront appliquées à un fil de cuivre - l'extension résultante sera mesurée pour construire un graphique contrainte-déformation. Selon les équations de contrainte et de déformation, les paramètres requis seront mesurés avec l'équipement suivant.

• Fil de fer

• Micromètre

• Poulie

• Règle du mètre

• Pied à coulisse

• Poids

• Pince

• Bloc de bois

• Banc

Méthodologie

1. À l'aide de la règle, nous mesurons la longueur initiale du fil. Nous utilisons le micromètre pour mesurer le diamètre du fil en trois points de sa longueur. Cela permet d'obtenir le diamètre moyen qui sera utilisé dans le calcul de la surface.

2. Nous connectons une extrémité du fil à la poulie qui est serrée sur un banc, et l'autre extrémité à un bloc de bois serré.

3. L'extension du fil due à la force des poids est mesurée et enregistrée. La différence entre la nouvelle longueur et la longueur initiale avant l'allongement est utilisée dans le calcul de la déformation.

4. Répète le processus pour obtenir 5 à 10 lectures supplémentaires. Il est recommandé de prendre plusieurs mesures avec différents poids pour réduire les erreurs.

5. Trace ensuite la contrainte en fonction de la déformation et trouve le module élastique en prenant le gradient de la ligne.

Analyse des résultats

Le but de l'expérience est d'estimer le module d'Young. On peut le trouver en estimant la contrainte et la déformation. Les étapes suivantes sont nécessaires pour trouver la contrainte et la déformation.

1. Trouve la surface du fil en utilisant le diamètre mesuré et l'équation \(A= \pi r^2\) où \(r=\frac{R}{2}\).

2. Réarrange la formule du module de Young et résous-la pour F. Cela nous donne \(F=\frac{(E\cdot A)}{L} \cdot \Delta L\).

3. L'équation réarrangée est similaire à l'équation d'une ligne de la forme y = ax, où y est F et la pente est le coefficient de ΔL .

4. Un graphique de la force en fonction de ΔL est construit à partir de la force enregistrée et des points d'extension afin que la pente puisse être trouvée. La pente \(\frac{\Delta F}{\Delta L}\) est trouvée et multipliée par la longueur originale _L0 et divisée en surface A, pour estimer la valeur du module de Young.

Graphique de contrainte-déformation et caractéristiques du matériau

Certaines caractéristiques importantes des matériaux sont présentées dans la figure ci-dessous.

• La région rouge indique la région élastique où il se déforme selon la loi de Hooke, et où la contrainte et la déformation sont proportionnelles l'une à l'autre. Le point rouge indique la limite élastique ou la limite d'élasticité. C'est le point jusqu'auquel un matériau peut encore conserver sa longueur initiale après l'application de la charge.

• La région verte indique la région plastique où le matériau est incapable de revenir à son état initial et a subi une déformation permanente. Le point vert indique le point de résistance à la traction, jusqu'auquel le matériau peut supporter la charge maximale par unité sans se rompre.

• Le point bleu indique le point de rupture ou la contrainte de rupture, où le matériau se casse.