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Définitions du mouvement angulaire et du mouvement linéaire
Le mouvement est l'action d'un objet qui se déplace ou qui est déplacé. Le mouvement peut être classé en termes de mouvement linéaire ou de mouvement angulaire.
Le mouvementlinéaire est un mouvement unidimensionnel le long d'une trajectoire rectiligne.
En revanche, le mouvement angulaire concerne une trajectoire courbe.
Le mouvementangulaire est un mouvement circulaire autour d'un axe fixe.
Relation entre le mouvement angulaire et le mouvement linéaire
Le mouvement angulaire et le mouvement linéaire sont liés par un domaine de la physique connu sous le nom de cinématique.
Lacinématique désigne l'étude du mouvement sans tenir compte des forces en jeu.
Dans le domaine de la cinématique, il existe quatre quantités de mouvement correspondantes. Ces quantités sont les suivantes
- la vitesse
- l'accélération
- le déplacement
- le temps
et peuvent être écrites en termes de mouvement linéaire ou angulaire. Les variables de mouvement ci-dessus correspondent à un mouvement linéaire.
Note que la vitesse, l'accélération et le déplacement sont tous des quantités vectorielles, ce qui signifie qu'ils ont une magnitude et une direction.
Variables de mouvement linéaire
Définissons chaque quantité de mouvement linéaire en commençant par le déplacement.
Ledéplacement, \( x \), est la différence entre une position initiale et une position finale le long d'une trajectoire donnée.
La formule mathématique correspondant à cette définition est $$x=v\,\Delta{t}$$ où \( v \N) est la vitesse et \N( t \N) le temps. Le déplacement a une unité SI de \(\mathrm{m}\). Le déplacement est parfois confondu avec le terme distance. Le déplacement est lechangement global de la position d'un objet, tandis que la distance est l'ampleur du déplacement.
Lavitesse, \( v \), est le taux de changement de déplacement d'un objet par rapport au temps.
La formule mathématique correspondant à cette définition est la suivante
$$v=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$$ où \( x \N) est le déplacement et \( t \N) est le temps. La vitesse a une unité SI de \( \mathrm{\frac{m}{s}} \). Cependant, pour la vitesse instantanée, nous utilisons \Nv=\frac{dx}{dt}. \N- Encore une fois, tout comme le déplacement est confondu avec la distance, la vitesse est confondue avec la vitesse . La vitesse est le taux de changement directionnel de la position, tandis que la vitesse est la magnitude de la vitesse.
L'accélération, \( a \), est le changement de vitesse d'un objet par rapport au temps.
La formule mathématique correspondant à cette définition est
$$a=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}$$ où \( v \N) est la vitesse et \N( t \N) le temps. L'accélération a une unité SI de \( \mathrm{\frac{m}{s^2}}. \rm Cependant, pour l'accélération instantanée, nous utilisons \( a=\frac{dv}{dt}. \rm)
Letemps, \( (t) \) ne change pas en fonction du type de mouvement de l'objet et se mesure en \( s.)
Variables du mouvement angulaire
Pour le mouvement angulaire, les quatre quantités de mouvement sont les suivantes
- le déplacement angulaire - L'angle que fait un objet par rapport à un centre de rotation.
- vitesse angulaire
- l'accélération angulaire
- le temps
Définissons maintenant chaque variable en commençant par le déplacement angulaire.
Ledéplacement angulaire, \( \theta \), est la différence entre une position angulaire initiale et une position angulaire finale autour d'un axe spécifié.
La formule mathématique correspondant à cette définition est $$\theta=\omega\,\Delta{t}$$ où \( \omega \) est la vitesse angulaire et \( t \) le temps. Le déplacement angulaire a une unité SI de \(\mathrm{radians}\).
Lavitesse angulaire, \( \oméga \), est le taux de variation du déplacement angulaire d'un objet par rapport au temps.
La formule mathématique correspondant à cette définition est
$$\omega=\frac{\Delta{\theta}}{\Delta{t}}$$ où \( \theta \) est le déplacement angulaire et \( t \) est le temps. La vitesse angulaire a une unité SI de \( \mathrm{\frac{rad}{s}} \).
La dérivée de cette équation donne \( \omega=\frac{d\theta}{dt} \) , ce qui est la définition de la vitesse angulaire instantanée.
L'accélération angulaire, \( \alpha \), est la variation de la vitesse angulaire d'un objet par rapport au temps.
La formule mathématique correspondant à cette définition est
$$\alpha=\frac{\Delta{\omega}}{\Delta{t}}$$ où \( \omega \) est la vitesse angulaire et \( t \) le temps. L'accélération angulaire a une unité SI de \( \mathrm{\frac{rad}{s^2}} \).
La dérivée de cette équation donne \( \alpha=\frac{d\omega}{dt} \) , ce qui est la définition de l'accélération angulaire instantanée.
Letemps, \( (t) \) ne change pas par rapport au type de mouvement d'un objet et est mesuré en \( s. \)
Relation entre les variables de mouvement
En plus de comprendre les définitions et les formules correspondantes pour les grandeurs de mouvement linéaires et les grandeurs angulaires, nous devons également être conscients de la relation entre ces grandeurs. Lavitesseest la dérivée première du déplacement par rapport au temps, \( v=\frac{dx}{dt} \), tandis que l'accélération est la dérivée première de la vitesse par rapport au temps, \( a=\frac{dv}{dt} \) ainsi que la dérivée seconde du déplacement \( a=\frac{d^2{x}}{dt^2}. \De même, la vitesse angulaire est la dérivée première du déplacement angulaire par rapport au temps, \( \omega=\frac{d\theta}{dt} \), tandis que l'accélération angulaire est la dérivée première de la vitesse angulaire par rapport au temps, \( \alpha=\frac{d\omega}{dt} \) ainsi que la dérivée seconde du déplacement angulaire \( \alpha=\frac{d^2\theta}{dt^2}. \NVérifions notre compréhension avec les deux exemples suivants, en commençant par le mouvement angulaire.
Etant donné la fonction de position, \( x(t)=\left(9\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right) t^2 +\left(6\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)t -4\;\mathrm{m}, \r) calcule les fonctions de vitesse et d'accélération.
Solution
Pour trouver la fonction de vitesse, nous pouvons calculer la dérivée de la fonction de position par rapport au temps.
\begin{align}v(t)&=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\v(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \left(9;\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right) t^2 +\left(6\;\mathrm{\frac{m}{s}}\right)t -4\;\mathrm{m}\right)\\v(t)&=\left(18\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)t+6\;\mathrm{\frac{m}{s}}\end{align}
De même, puisque l'accélération est la dérivée seconde de la fonction de position, nous pouvons la trouver en calculant la dérivée de la fonction de vitesse.
\begin{align}\\a(t)&=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\\a(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\left(18\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)t+6\;\mathrm{\frac{m}{s}}\right)\\a(t)&=18\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}\\\end{align}
Encore une fois pour le mouvement angulaire.
Etant donné la fonction de position angulaire, \( \theta(t)=\left(5\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}\right) t^2 +\left(8\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right)t -6\;\mathrm{rad}, \) calcule les fonctions de vitesse angulaire et d'accélération angulaire.
Solution
Pour trouver la fonction de vitesse angulaire, nous pouvons calculer la dérivée de la fonction de position angulaire par rapport au temps.
\begin{align}\omega(t)&=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\\\omega(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \left(5\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right) t^2 +\left(8\;\mathrm{\frac{rad}{s}\right)t -6\ ;\mathrm{rad}\right)\\\omega(t)&=\left(10\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right)t+8\;\mathrm{\frac{rad}{s}}\end{align}
De même, puisque l'accélération angulaire est la dérivée seconde de la fonction de position angulaire, nous pouvons la trouver en calculant la dérivée de la fonction de vitesse angulaire.
\begin{align}\\\alpha(t)&=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\\\alpha(t)&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\left(10\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right)t+8\;\mathrm{\frac{rad}{s}}\right)\\\alpha(t)&=10\;\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\\\end{align}
Maintenant que nous comprenons la relation entre les quantités elles-mêmes, nous devons également discuter de la façon dont les quantités de mouvement linéaire et les quantités de mouvement angulaire sont liées les unes aux autres. Ces relations apparaissent dans le tableau ci-dessous, où \( r \) est le rayon du mouvement circulaire.
| Variable | Abréviation linéaire | Unités SI linéaires | Abréviation angulaire | Unités SI angulaires | Relation |
| accélération | $$a$$ | $$\frac{m}{s^2}$$ | $$\alpha$$ | $$\frac{rad}{s^2}$$ | $$a=\alpha{r}, \alpha=\frac{a}{r}$$ |
| vitesse | $$v$$ | $$\frac{m}{s}$$ | $$\oméga$$ | $$\frac{rad}{s}$$ | $$v=\omega{r}, \omega=\frac{v}{r}$$ |
| déplacement | $$x$$ | $$m$$ | $$\Delta \theta$$ | $$rad$$ | $$x=\theta{r}, \theta=\frac{x}{r}$$ |
| temps | $$t$$ | $$s$$ | $$t$$ | $$s$$ | $$t=t$$ |
Pour mieux comprendre ces relations, examinons le diagramme ci-dessous.
Ledéplacement angulaire, \(\theta\) est une mesure du degré de rotation d'un corps autour d'un axe spécifié, donnée sous forme d'angle, généralement en unités de radians. Le déplacement angulaire est directement lié au déplacement linéaire, car le déplacement linéaire concerne la distance en ligne droite entre des points, tandis que le déplacement angulaire concerne la trajectoire courbe du mouvement entre ces points. Le déplacement linéaire est proportionnel au rayon de rotation et au déplacement angulaire. La vitesse tangentielle, \(v\) décrit la composante linéaire instantanée du mouvement d'un objet par rapport à sa trajectoire circulaire dans la direction perpendiculaire à la normale à la direction du centre de rotation. Une façon de visualiser ceci est d'imaginer la rotation d'une masse sur une ficelle - si nous coupons la ficelle, la masse continuera à se déplacer avec sa vitesse tangentielle à l'instant où la ficelle a été coupée. Cette direction est perpendiculaire au centre du cercle de rotation de la masse.
De même, cette relation décrit le rapport entre l'accélération angulaire et l'accélération linéaire. Si nous insérons la formule de la vitesse angulaire, \( \omega=\frac{v}{r} \), dans l'équation de l'accélération angulaire, \( \alpha=\frac{\Delta{\omega}}{\Delta{t}} \), nous pouvons dériver l'équation correspondante qui relie l'accélération angulaire à l'accélération linéaire instantanée, \( \alpha=ar. \) Les quantités de mouvements linéaires sont analogues aux quantités de mouvements angulaires.
Equations du mouvement angulaire et du mouvement linéaire
Par conséquent, trois équations décrivent la relation entre les quantités de mouvement linéaire et angulaire. Ces équations sont connues sous le nom de "Big Three" et constituent deux ensembles distincts d'équations utilisées pour calculer les variables cinématiques inconnues. Il manque à chaque équation une seule variable cinématique. Par conséquent, lorsque tu choisis quelle équation est nécessaire pour résoudre un problème, détermine quelle variable n'est pas fournie et quelle variable n'est pas demandée à être trouvée.
Équations cinématiques du mouvement linéaire
L'équation de la vitesse,
$$v=v_{o} + a{t}.$$
L'équation de déplacement,
$$\Delta{x} =v_o{t}+\frac{1}{2}{a}t^2.$$
L'équation de la vitesse au carré,
$$v^2={v_{o}}^2 +2{a}\Delta{x}.$$
Notez que \N( v \N) est la vitesse finale, \N( v_o \N) est la vitesse initiale, \N( a \N) est l'accélération, \N(t \N) est le temps, et \N(\NDelta{x} \N) est le déplacement.
Ces équations cinématiques ne s'appliquent que lorsque l'accélération est constante.
Prenons un exemple rapide pour vérifier notre compréhension.
Un nageur, anticipant le signal de départ, attend sur le plot de départ. Au signal, il plonge dans l'eau et commence à nager à une vitesse de \( 0,\mathrm{\frac{m}{s}}). \N Le nageur accélère jusqu'à ce qu'il atteigne une vitesse de \ ( 2,7,\mathrm{\frac{m}{s}}). \N Quelle est l'accélération du nageur et son déplacement par rapport à cette accélération s'il lui faut \( 30,\mathrm{s} \N) pour atteindre sa vitesse finale ?
Fig. 2 : Un nageur fait la démonstration d'un mouvement linéaire.
D'après le problème, nous disposons des éléments suivants : vitesse initiale, vitesse finale et temps. Par conséquent, nous pouvons identifier et utiliser l'équation,\( v=v_o + at, \) pour résoudre la première partie de ce problème. Nos calculs sont donc les suivants :
\begin{align}v&=v_o + at\\N- 2,7\N,\Nmathrm{\Nfrac{m}{s}}&= 0 + a\N(30\Nmathrm{s})\Na&= \Nfrac{2,7\Nmathrm{\Nfrac{m}{s}}{30\Nmathrm{s}}\Na&=0,09\Nmathrm{\Nfrac{m}{s^2}\Nend{align}
En utilisant cette valeur et l'équation, \N( v^2=v_{o}^2 +2a\Delta x, \N) nous pouvons calculer le déplacement du nageur comme suit : \begin{align}v^2&=v_{o}^2 +2a\Delta x\\\left({2.7\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\right)^2&=0 +2\left(0.09\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right){\Delta x}\\7.29&=(0.09)(\Delta x)\\\Delta x&= \frac{7.29}{0.09}=81\,\mathrm{m}\\\end{align}
Équations cinématiques du mouvement angulaire
Les équations suivantes représentent les équations cinématiques du mouvement angulaire pour un objet se déplaçant avec une accélération angulaire constante.
L'équation de la vitesse angulaire est donnée par
$$\omega=\omega_{o} + \alpha{t}.$$
L'équation du déplacement angulaire est donnée par
$$\Delta{\theta} =\omega_o{t}+\frac{1}{2}{\alpha}t^2.$$
L'équation de la vitesse angulaire au carré est donnée par
$$\omega^2={\omega_{o}}^2 +2{\alpha}\Delta{\theta}.$$
Notons que \(\oméga\) est la vitesse angulaire finale, \(\oméga_0\) est la vitesse angulaire initiale, \(\alpha\) est l'accélération angulaire, \(t\) est le temps, et \(\Delta \theta\) est le déplacement angulaire.
Ces équations cinématiques ne s'appliquent que lorsque l'accélération angulaire est constante.
Encore une fois, complétons un autre exemple en utilisant les équations du mouvement angulaire.
Un ventilateur tourne initialement avec une vitesse angulaire de \N1,6\Nmathrm{\Nfrac{rad}{s}}. \N Si son accélération angulaire est de \N2,1\Nmathrm{\Nfrac{rad}{s^2} \Net que le déplacement angulaire de l'une de ses pales sur cette accélération est de \N7,3\Nmathrm{rad}, \Nquelle est la vitesse angulaire finale du ventilateur ?
Fig. 3 : Un ventilateur démontre un mouvement angulaire.
D'après le problème, nous disposons des éléments suivants : vitesse angulaire initiale, accélération angulaire et déplacement angulaire. Par conséquent, nous pouvons identifier et utiliser l'équation, \( \oméga^2=\oméga_{o}^2 +2\alpha\Delta\theta, \) pour résoudre ce problème. Nos calculs sont les suivants :
\begin{align}\omega^2&=\omega_{o}^2 +2\alpha\Delta\theta \\\omega^2&=\left(1.6\,\mathrm{\frac{rad}{s}}\right)^2 +2\left(2.1\,\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\right)(7.3\,\mathrm{rad})\\\omega^2&= 33.22\\\omega&= 5.8\,\mathrm{\frac{rad}{s}}\\\end{align}
Similitudes entre le mouvement angulaire et le mouvement linéaire
Les similitudes entre le mouvement angulaire et le mouvement linéaire se retrouvent dans les variables de mouvement et les équations cinématiques correspondantes. Bien que les variables changent et que chacune décrive un type de mouvement différent, la relation entre le déplacement, la vitesse et l'accélération reste la même quel que soit le mouvement. Pourquoi ? Parce que la vitesse est la dérivée première du déplacement et que l'accélération est la dérivée première de la vitesse et la dérivée seconde du déplacement. Indépendamment du mouvement et de la trajectoire empruntée, ces dérivées restent vraies lorsque l'accélération est constante. Par conséquent, nous considérons que le mouvement angulaire est analogue au mouvement linéaire, ce qui fait que les variables du mouvement angulaire et du mouvement linéaire sont des contreparties équivalentes l'une de l'autre. Par conséquent, les équations cinématiques correspondant à chaque ensemble de variables sont également analogues.
Différences entre le mouvement angulaire et le mouvement linéaire
Bien que similaires, les mouvements linéaires sont caractérisés par des variables et des équations cinématiques linéaires, tandis que les mouvements angulaires sont caractérisés par des variables et des équations cinématiques angulaires. Chacun décrit une forme différente de mouvement et a des unités de mesure différentes. Le mouvement linéaire décrit le mouvement des objets le long d'une trajectoire droite et ses variables associées sont mesurées en unités de longueur. Le mouvement angulaire est le mouvement circulaire d'objets autour d'un axe fixe et ses variables associées sont mesurées en unités angulaires telles que les radians ou les degrés. Cependant, deux différences distinctes entre le mouvement angulaire et le mouvement linéaire concernent la force qui provoque le mouvement et le système de coordonnées utilisé pour analyser chaque type de mouvement. La force provoque un mouvement linéaire tandis que le couple provoque un mouvement angulaire. Par conséquent, deux systèmes de coordonnées différents peuvent être utilisés. Pour les mouvements linéaires, nous utilisons le système de coordonnées cartésiennes typique, \N( x,y, \N), mais pour les mouvements angulaires, un système de coordonnées polaires est mieux adapté.
Lesystème de coordonnées polaires est un système de coordonnées à deux dimensions dans lequel les positions des points sont définies en fonction de l'angle par rapport à un axe et de la distance par rapport à un point central.
Dans ce type de système de coordonnées, nous utilisons \N( \rho,\theta, \N) où \N( \rho \N) est la distance entre l'objet et l'origine et \N( \theta \N) est l'angle entre l'axe x et le vecteur de position qui nous donne la direction. Nous pouvons passer d'un système de coordonnées cartésiennes à un système de coordonnées polaires en comprenant que \N( x=\rho\cos\theta, \N) \N( y=\rho\sin\theta, \N) et \N(\rho = \sqrt{x^2 +y^2}.\N).
Mouvement angulaire et mouvement linéaire - Points clés à retenir
- Le mouvement linéaire est un mouvement unidimensionnel le long d'une trajectoire rectiligne.
- Le mouvement angulaire est un mouvement de rotation autour d'un axe fixe.
- Le mouvement angulaire et le mouvement linéaire sont liés par un domaine de la physique connu sous le nom de cinématique.
- La cinématique se concentre sur le mouvement et sur la façon dont les variables du mouvement dépendent les unes des autres.
- Le mouvement linéaire correspond à l'accélération, à la vitesse, au déplacement et au temps, ainsi qu'à trois équations cinématiques.
- Le mouvement angulaire correspond au déplacement angulaire, à la vitesse angulaire, à l'accélération angulaire et au temps ainsi qu'à 3 équations cinématiques.
- La vitesse est la dérivée première du déplacement par rapport au temps, \( v=\frac{dx}{dt} \), tandis que l'accélération est la dérivée première de la vitesse par rapport au temps, \( a=\frac{dv}{dt} \) ainsi que la dérivée seconde du déplacement \( a=\frac{d^2{x}}{dt^2}. \)
- La vitesse angulaire est la dérivée première du déplacement angulaire par rapport au temps, \( \omega=\frac{d\theta}{dt} \), tandis que l'accélération angulaire est la dérivée première de la vitesse angulaire par rapport au temps, \( \alpha=\frac{d\omega}{dt} \) ainsi que la dérivée seconde du déplacement angulaire \( \alpha=\frac{d^2\theta}{dt^2}. \)
- Les quantités de mouvement linéaire sont analogues aux quantités de mouvement angulaire.
- Le mouvement linéaire et le mouvement angulaire sont deux formes différentes de mouvement, chacune avec des unités de mesure différentes.
Références
- Fig. 1 : Diagramme des relations cinématiques linéaires et angulaires - StudySmarter Originals
- Fig. 2 : Nageur (https://www.pexels.com/photo/person-swimming-on-body-of-water-863988/) par Guduru Ajay bhargav ( https://www.pexels.com/@ajaybhargavguduru/) sous licence CC0 1.0 Universal (CC0 1.0).
- Fig. 3 : Originaux de Fan-StudySmarter
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