Mouvement dans un champ uniforme

Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

Le mouvement dans un champ de gravitation telle que celui créé par la Terre, lorsqu'on se trouve à sa surface, est bien particulier. On peut montrer que le mouvement dans un champ uniforme est plan, et qu'il ne s'agit pas d'un mouvement uniforme mais d'un mouvement uniformément accéléré.

Quelle est la relation entre les champs physiques de la pesanteur et de la gravitation ?

La gravitation est une force universelle qui existe entre toute paire de masses tandis que la pesanteur correspond au cas particulier où une des deux masses est une planète comme la Terre et l'autre masse est un objet à la surface de la planète. L'objet ressent alors une force de gravitation qu'on appelle son poids, ou force de pesanteur.

Loi universelle de la gravitation

D'après la loi universelle de la gravitation de Newton, toute paire de masses \( m_1 \) et \( m_2 \) s'attirent l'une vers l'autre avec une force égale à : \[ \fbox{ \(F_G = G \frac{m_1m_2}{r^2} \) } \] où : \( F_G \) est la force gravitationnelle (N) ;

\( G \) est la constante universelle de gravitation ;

\( m_1 \) et \( m_2 \) sont les valeurs des masses (kg) ;

\( r \) est la distance entre les deux masses (m).

Pesanteur

À la surface de la Terre (ou d'une autre planète), tout objet qui s'y trouve ressent une force d'attraction vers la Terre que l'on appelle le poids. En appliquant la loi universelle de la gravitation de Newton, on trouve : \[ P = G \frac{M_T \,m}{R_T^2} \]

où : \( P \) est la force du poids ;

\( M_T \) est la masse de la Terre ;

\( R_T \) est le rayon de la Terre ;

\( m \) est la masse d'un l'objet à la surface de la Terre.

En réarrangeant l'expression du poids, on peut écrire :

\[ P = m \frac{GM_T}{R_T^2} \] \[ \fbox{ \( P = m g \) } \]

On voit que le poids de tout objet à la surface de la Terre est égal à la masse de cet objet fois un terme noté \(g\) que l'on appelle le champ de pesanteur, ou encore l'accélération de la pesanteur : \[ \fbox{ \( g = \frac{G M_T}{R_T^2} = 9{,}81\;N{.}kg^{-1} = 9{,}81 \;m{.}s^{-2}\) } \]

On peut remarquer que la loi universelle de la gravitation de Newton implique que deux objets à la surface de la Terre, par exemple, deux personnes, s'attirent également entre eux par une force de gravitation. En outre, chaque objet créé son propre petit champ gravitationnel qui attire toutes les masses environnantes vers lui. Mais, ces forces et ces champs sont tout à fait négligeables devant la force du poids, c'est-à-dire devant le champ de pesanteur terrestre. Ainsi, tout se passe comme si les objets à la surface de la Terre étaient uniquement attirés par la Terre.

Application du principe fondamental de la dynamique

Comme nous l'avons vu précédemment, le champ de pesanteur est uniforme à la surface de la Terre. En réalité, l'intensité du champ varie légèrement selon que l'on est plus proche des pôles ou de l'équateur, et également si l'on se trouve au niveau de la mer ou en altitude, mais ce sont des variations négligeables.

Pour faire une étude dynamique du mouvement, appliquons maintenant le principe fondamental de la dynamique à un objet de masse \( m \). On a vu que l'on peut uniquement tenir compte de la force de gravitation qui est exercée par la Terre. Prenons en outre un objet qui est libre de se déplacer dans les airs, et qui n'est donc pas en contact avec le sol. Si on néglige l'effet des frottements de l'air, cet objet ressent ainsi seulement la force du poids \( \vec{P} = m\vec{g} \) dirigée vers le bas. D'après la deuxième loi de Newton, on a donc : \[ m \vec{a} = m \vec{g} \] On peut alors simplifier l'équation par la masse de chaque côté et on trouve que : \[ \fbox{ \( \vec{a} = \vec{g} \) } \]

L'accélération de tout objet en chute libre sur Terre est égale au champ de pesanteur et c'est pourquoi on appelle également \( \vec{g} \) l'accélération de la pesanteur. Ainsi, on trouve que tous les objets, quelque soit leur masse, tombent avec la même accélération. Ce n'est pas forcément intuitif, car on a tous vu une plume ou une feuille tomber tout doucement. Dans ce cas, l'air, dont on n'a pas tenu compte jusqu'ici, s'oppose au mouvement de ces objets très légers dont la forme fine et allongée favorise l'influence de la résistance de l'air. Mais, si l'on prend deux balles, une très légère en plastique et une très lourde en métal, et qu'on les lâche du haut d'un immeuble ou d'une pente bien lisse, elles doivent arriver en bas simultanément. Ce résultat a été trouvé expérimentalement par Galilée avant même que Newton soit né.

Nous rentrerons plus en détail dans la description du mouvement de projectiles en chute libre dans les articles suivants. Voyons maintenant le cas du champ électrique.

Mouvement dans un champ électrique uniforme

Analogie entre l'électricité et la gravitation

Le mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme est très semblable au mouvement d'une masse dans un champ de pesanteur uniforme, à la seule différence que, dans le cas de l'électricité, un objet peut être doté d'une charge soit positive, soit négative. Il y a une analogie entre l'électricité et la gravitation, que l'on peut voir par la forme similaire de la loi universelle de la gravitation et la loi de Coulomb, donnant la force électrique entre deux particules chargées : \[ F_e = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1q_2}{r^2} \] où \(F_e\) est la force électrique (N) ;

\( \epsilon_0 \) est la permittivité du vide ;

\( q_1 \) et \( q_2 \) sont les charges électriques (C) ;

\( r \) est la distance entre les deux charges (m).

Cette analogie est d'autant plus évidente si l'on pose \( k_e = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \) défini comme étant la constante de Coulomb. Étant donné qu'on est libre de prendre soit deux charges de mêmes signes, soit deux charges de signes opposés, la force électrique, contrairement à la force de gravitation, peut être soit répulsive, soit attractive, comme indiqué sur la figure ci-dessous :

Figure 3. Schéma de l'attraction et de la répulsion entre deux particules chargées due à la force électrique.

Résumons l'analogie entre la gravitation et l'électricité dans le tableau ci-dessous :

Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme

On voit à la dernière ligne du tableau précédent, étant donné que la charge électrique est l'équivalent de la masse, que pour passer du champ électrique à la force électrique, on doit multiplier le champ par la charge \( \vec{F}_e = q \times \vec{E} \). Ainsi, pour un même champ électrique, la force ressentie par une charge dépend de son signe. Si l'on prend deux charges opposées ayant la même vitesse initale. Le mouvement de la charge positive va être accéléré dans le sens du champ, tandis que le mouvement de la charge négative sera accéléré dans le sens opposé au champ (voir figure 4).

Figure 4. Mouvement dans un champ électrique uniforme de charges de signes opposés.

Nous verrons plus en détail l'étude de la trajectoire dans les articles suivants. Terminons par mentionner le cas du champ magnétique. Contrairement à la force électrique et la force gravitationnelle, la force magnétique s'obtient en multipliant le champ magnétique par la charge et par la vitesse : \[ F_{magnétique} = q \times v \times B \] En outre, cette force n'est pas parallèle au champ, mais perpendiculaire simultanément à la vitesse et au champ magnétique. C'est donc une situation assez différente des précédentes. On peut remarquer qu'une charge au repos ne ressent aucune force et reste ainsi au repos. Quant à une charge en mouvement, le champ magnétique la fait seulement dévier, mais pas accélérer ni ralentir. Cela peut donner, par exemple, un mouvement circulaire uniforme.