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Fig. 1 - Un carrefour routier vu d'un oiseau est un exemple de mouvement en deux dimensions.
Au lieu de voir les voitures se déplacer uniquement le long d'une ligne droite, tu les verras avancer, reculer et tourner dans différentes directions. Un tel mouvement ne peut plus être décrit à l'aide d'une seule ligne, puisqu'il est bidimensionnel, c'est pourquoi un axe des y est introduit pour le décrire efficacement. La troisième dimension peut être visualisée si nous imaginons que l'une des routes monte une colline, certaines voitures monteraient la colline et d'autres la descendraient. Ce mouvement de montée et de descente se ferait le long du troisième axe z. Dans cet article, nous en apprendrons davantage sur le mouvement en deux ou trois dimensions.
Définition du mouvement en deux dimensions
Bien que nous observions quotidiennement des objets en mouvement, nous nous attardons rarement sur la question "dans combien de dimensions ce mouvement se produit-il ?" L'un des exemples de mouvement les plus simples est celui d'un objet qui se déplace linéairement dans une seule dimension. Revenons à l'exemple de l'autoroute. Une voiture qui se déplace le long de l'axe des x représente un mouvement dans une seule dimension.Si cette même voiture se déplace dans une direction avec unevitesseconstante tout en accélérant dans une autre direction, ils'agit d'un mouvement bidimensionnel.
Un mouvementbidimensionnel est un mouvement qui a lieu le long de deux directions différentes en même temps et qui nécessite au moins deux coordonnées pour être décrit mathématiquement.
De nombreux objets en mouvement que nous observons et dont nous faisons l'expérience tous les jours ne se déplacent pas en ligne droite, et leur mouvement est mieux décrit comme étant bidimensionnel. Dans une dimension, nous analysons le mouvement des objets en ligne droite en étudiant le déplacement, la vitesse et l'accélération. Maintenant, comment pouvons-nous étendre ce que nous avons appris sur le mouvement en une dimension à des situations bidimensionnelles ?
Forces et mouvements en deux dimensions
Pour faire la distinction entre la force et le mouvement sur le site , définissons exactement ce que nous entendons par force.
Laforce est une quantité vectorielle qui décrit les interactions entre les objets ou les systèmes.
Les forces exercées sur les objets sont toujours dues à l'interaction de cet objet avec un autre objet, comme une poussée ou une traction. Lancer une balle de baseball est un exemple de force, car le processus peut être simplifié en un objet poussé dans l'air. De même,lorsque la friction agit entre deux surfaces, nous devons tenir compte de la force de friction parallèle à la surface et de la force normale perpendiculaire à celle-ci. La meilleure façon de décrire ces forces est d'utiliser les coordonnées x et y en deux dimensions.
Deuxgrands exemplesde mouvements bidimensionnels sont le projectile et le mouvement circulaire, pour lesquels les forces pertinentes sont respectivement la force gravitationnelle et la force centripète.
Mouvement des projectiles
Le mouvement des projectiles est un cas particulier de mouvement à deux dimensions.
Mouvement de projectile est le mouvement d'un objet qui a une accélération nulle dans une dimension et une accélération non nulle dans la deuxième dimension.
Lorsque l'on analyse le mouvement d'un projectile, il est essentiel de se rappeler qu'il est toujours préférable de décomposer le mouvement en deux composantes : une le long de l'axe horizontal et une le long de l'axe vertical.
Dans un mouvement de projectile, les composantes verticale et horizontale sont indépendantes l'une de l'autre.
Lorsqu'un projectile est lancé à un angle, l'objet se déplace simultanément dans les directions x et y. Celles-ci peuvent être exprimées à l'aide de vecteurs, où l'addition donnera un vecteur net. Laplupart du temps, le mouvement du projectile est modélisé sans tenir compte des effets de la résistance de l'air ; on peut donc l'ignorer.
Si l'on néglige la résistance de l'air, la composante horizontale de la vitesse d'un projectile n'est soumise à aucune force nette, tandis que la composante verticale n'est affectée que par la force de gravité, ce qui signifie que le terme d'accélération \(a_y\) peut être remplacé par l'accélération due à la gravité \(g\).
Mouvement circulaire uniforme
Un autre exemple courant de mouvement bidimensionnel est le mouvement circulaire uniforme.
Le mouvementcirculaire uniforme est le déplacement d'un objet le long d'une trajectoire circulaire de rayon constant avec une vitesse constante.
Même si la vitesse est constante, la vélocité ne l'est pas. En effet, la direction du vecteur vitesse change d'un point à l'autre de la trajectoire qu'il parcourt. Le fait que la vitesse change signifie que l'accélération n'est pas nulle.
Dans un mouvement circulaire, il y a toujours une accélération centripète dont la magnitude peut être exprimée par \(a_\mathrm{c}\),
\[a_\mathrm{c}=\frac{v^2}{r},\]
où \(r\) est le rayon du cercle. Il en résulte une force centripète qui pointe vers le centre du cercle défini par le mouvement de l'objet. Cette force change la direction du vecteur vitesse de l'objet, mais pas sa magnitude. Enfin, le temps nécessaire pour effectuer une révolution complète est appelé période \(T\) et est donné par l'équation suivante
\[T=\frac{2 \pi r}{v}.\]
Quelques bons exemples de mouvement circulaire sont la grande roue ou un satellite en orbite autour d'une planète.
Formules de mouvement en deux dimensions
Avant d'énumérer toutes les équations de mouvement pertinentes pour deux dimensions, rappelons les principales équations de mouvement en une dimension.
Tableau 1 - Équations cinématiques du mouvement en une dimension avec une accélération constante.
| Formule | Variable manquante | Variables |
| \(v=v_0+at\) | \(\Delta x\) | \(v\) - vitesse\(v_0\) - vitesse initiale\(a\) - accélération\(t\) - temps |
| \(x -x_0=v_0t+\frac{1}{2}at^2\) | \(v\) | \N- x\N - position\N- x_0\N - position initiale\N- v_0\N - vitesse initiale\N- a\N - accélération\N- t\N - temps |
| \(v^2=v^2_0+2a(x-x_0)\) | \(t\) | \N(v\N) - vitesse \N(v_0\N) -vitesse initiale \N(a\N) - accélération \N(x\N) - position \N(x_0\N) - position initiale |
Le mouvement en deux dimensions est décrit par les mêmes équations que celles compilées dans le tableau 1 ci-dessus, la seule différence réside dans la notation. Dans un mouvement bidimensionnel, nous considérons deux directions (x et y), de sorte que la notation de la position devient :
\[ \Delta \vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1,\]
où \( \vec{r}_1\) et \( \vec{r}_2\) sont des vecteurs allant de l'origine aux points \( A\) et \( B\) de la figure 2. Chacun de ces vecteurs a des composantes x et y.
Fig. 2 - Exemple de mouvement en deux dimensions.
Dans ce cas, la vitesse moyenne est le vecteur de déplacement \( \overrightarrow{A B}\) divisé par le temps qu'il faut à l'objet pour se déplacer de \( A\) à \( B\). La vitesse instantanée, quant à elle, peut être exprimée comme suit
\[\vec{v}= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t},\]
où la composante x est égale à
\[v_x= \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}.\]
L'accélération instantanée est la variation de la vitesse dans le temps :
\[\vec{a}= \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}.\]
Comme il n'est pas pratique de faire des calculs avec des vecteurs, pour résoudre les problèmes de mouvement à deux dimensions, nous utilisons les composantes des vecteurs. Les équations vectorielles se transforment alors en équations algébriques, les mêmes que celles utilisées dans les mouvements à une dimension, qui sont plus faciles à résoudre à l'aide d'opérations mathématiques élémentaires. En suivant cette logique, toutes les équations du tableau 1 peuvent être divisées en composantes x et y :
\begin{align} v_x&=v_{0 x}+a_x t \\ v_y&=v_{0 y}+a_y t \end{align}
lors du calcul de la vitesse,
\begin{align} x-x_0&=v_{0 x} t+\frac{1}{2} a_x t^2 \\n-y_0&=v_{0 y} t+\frac{1}{2} a_y t^2, \end{align}
pour obtenir les composantes de la position, et
\begin{align} v_x^2&=v_{0 x}^2 +2 a_x(x-x_0) \\\Nv_y^2&=v_{0 y}^2 +2 a_y(y-y_0). \Nend{align}
La décomposition des expressions en composantes transforme un problème de mouvement bidimensionnel en un système de deux équations à deux inconnues.
Note que le temps \(t\) dans les équations ci-dessus est le même pour les deux composantes.
Il est plus facile de comprendre ces équations en les appliquant à des problèmes d'exemple.
Exemples de mouvements en deux dimensions
Examinons un exemple de problème de mouvement de projectile en deux dimensions.
Une balle est lancée à un angle de \(33^\circ\) au-dessus de l'horizontale, comme le montre la figure 3. Si elle a une vitesse initiale de \(20 \, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\), calcule :
- combien de temps la balle passe-t-elle en l'air,
- la hauteur maximale de la projection, et
- le déplacement horizontal maximal.
Utilise \(9,8 \, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}\) pour l'accélération due à la gravité.
Fig. 3 - Mouvement d'un projectile à un angle.
Réponse:
Tout d'abord, nous devons trouver le temps de vol \(t\). Cette quantité ne dépend que de la composante verticale du projectile. Avant le lancement et après que la balle ait atteint le sol, elle aura un \(\Delta y = 0\), nous pouvons donc le mettre à zéro dans l'équation suivante :
\begin{align} \Delta y &= v_{0y}t + \frac{1}{2}a_yt^2 \N0&=v_{0y}t + \frac{1}{2}a_yt^2. \Nend{align}
Nous pouvons maintenant utiliser le fait que l'accélération dans la direction verticale est égale à l'accélération due à la gravité \(g\) et les propriétés trigonométriques du triangle formé par \(v_{0y}\) et \ (v_{0}\) pour obtenir l'expression suivante :
\begin{align} (v_0\sin \theta)t+\frac{1}{2}(-g)t^2 &= 0 \frac{1}{2}gt^2 - (v_0 \sin \theta)t &=0 \ t \left ( \frac{1}{2}gt - v_0 \sin \theta \right )&=0. \end{align}
Avant que le projectile ne soit lancé, \(t=0\), cependant, une fois qu'il aura atterri, il sera non nul, nous pouvons donc simplifier l'expression à
\[\frac{1}{2}gt - v_0 \sin \theta=0 .\]
Enfin, il suffit de brancher les valeurs connues :
\begin{align}t&=\frac{2v_0\sin \theta}{g} \N- t&=\frac{2\Ngauche( 20 \N, \Nmathrm{m}}{\Nmathrm{s} \Ndroite )(\Nsin 33^\circ)}{9.8 \Nmathrm{m}}{\Nmathrm{s^2}}} \N- t&=2.2 \N- \N- \N- \N- \N- \NMathrm{s}. \Nend{align}
Deuxièmement, on nous demande de calculer la hauteur maximale de la projection \(\Delta y\), ce qui peut être fait en utilisant
\[v^2=v^2_0+2a(x-x_0).\]
Dans ce cas, nous nous intéressons à la composante y, nous pouvons donc modifier l'expression en
\[v^2_y=v^2_{0y}+2a(y-y_0).\]
Lorsque la balle atteint le point le plus élevé \(v_y\), sa vitesse sera nulle, ce qui entraîne la simplification suivante :
\0 &= v^2_{0y}+2a(\Delta y) \\N -v^2_{0y}&=2a(\Delta y) \N \N \Delta y&= \frac{-v^2_{0y}}{2a}. \Nend{align}
Une fois de plus, nous pouvons utiliser les propriétés trigonométriques pour exprimer le terme supérieur dans nos variables connues et calculer la hauteur maximale de la balle :
\begin{align} y_\mathrm{max}&= \frac{-v^2_{0y}}{2a} \\N-(v_0 \sin \theta)^2}{2(-g)} \N- &= \N-(v_0 \sin \theta)^2}{2(-g)} \N- &= \N-{\nbsp;gauche( 20 \N, \Nfrac{\mathrm{m}}{\nmathrm{s}} \ndroite )^2 (\sin 33^\circ)^2}{\ncdot( 9.8 \N, \nfrac{\mathrm{m}}{\nmathrm{s^2}})) \N- &= 6.1 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{s^2}}. \Nend{align}
Enfin, calculons le déplacement horizontal maximal \(\Delta x \). Nous savons que la vitesse est
\[v_x=\frac{\Delta x}{t},\]
qui peut être réarrangée en
\N- [\NDelta x = v_x t.\N]
Nous pouvons utiliser la valeur calculée précédemment pour le temps, et la composante x du terme de vitesse peut être exprimée à l'aide des propriétés trigonométriques et insérée dans l'équation de déplacement :
\begin{align} \Delta x &= (v_0\cos \theta) t \\N &= \N, \Nà gauche ( 20 \N, \Nfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\Nà droite ) (\Ncos 33^\circ)(2.2 \N, \Nmathrm{s})\Nà 37, \Nmathrm{m}. \Nend{align}
Le mouvement en trois dimensions
Tout comme la conversion d'un mouvement unidimensionnel en mouvement bidimensionnel, les objets en trois dimensions peuvent être analysés à l'aide de relations cinématiques unidimensionnelles si le mouvement est séparé en composantes. Pour y parvenir, un troisième axe est introduit, donc maintenant tout est décrit à l'aide des coordonnées x, y et z.
La notation vectorielle unitaire est appliquée pour représenter les vecteurs comme la somme de leurs composants dans chaque direction. Les coordonnées habituelles x, y et z sont représentées respectivement par \(\hat{i}\), \ (\hat{j}\) et\ (\hat{k}\) . Par exemple, un vecteur \(\vec{r}\) dans un espace à trois dimensions peut être écrit comme suit
\begin{align} \vec{r}&=(A, B, C) \\N- \vec{r}&=A\hat{i}+B\hat{j}+C\hat{k}. \n-{align}
La notation vectorielle unitaire peut s'appliquer à toutes les dimensions, mais la plupart du temps, il n'est pas nécessaire de compliquer les expressions à une ou deux dimensions.
Fig. 4 - Un gyroscope permet de visualiser clairement un mouvement en trois dimensions.
Le mouvement d'un gyroscope est un exemple de mouvement en trois dimensions. La façon de décrire qualitativement le mouvement d'une particule dans un espace tridimensionnel sera abordée plus tard dans les sujets de mécanique tels que l'électricité et le magnétisme.
Mouvement en deux dimensions - Points clés
- Le mouvement en deux dimensions est un mouvement qui a lieu dans deux directions (ou coordonnées) différentes en même temps.
- Deuxexemples de mouvementen deux dimensions sont le mouvement de projectile et le mouvement circulaire, où les forces en jeu sont respectivement la force gravitationnelle et la force centripète.
- Mouvement de projectile est le mouvement d'un objet qui a une accélération nulle dans une dimension et une accélération non nulle dans la deuxième dimension.
- Le mouvement circulaire uniforme est le déplacement d'un objet le long d'une trajectoire circulaire de rayon constant avec une vitesse constante.
- Les mouvements en deux ou trois dimensions peuvent être analysés à l'aide de relations cinématiques unidimensionnelles si le mouvement est séparé en composantes.
- La notation vectorielle unitaire est appliquée pour représenter les vecteurs comme la somme de leurs composantes constitutives dans chaque direction.
- La vitesse et l'accélération peuvent être différentes dans chaque dimension et ne pas être uniformes.
- Le mouvement dans une dimension peut être modifié sans entraîner de changement dans une dimension perpendiculaire.
Références
- Fig. 1 - (https://unsplash.com/photos/xTAF3D6K-SU) by CHUTTERSNAP (https://unsplash.com/@chuttersnap) on Unsplash is licensed by Public Domain.
- Fig. 2 - Vecteurs de mouvement en deux dimensions, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Exemple de mouvement de projectile, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Gyroscope argenté par Hugöl Hälpingston (https://unsplash.com/@hugoheppo) sur Unsplash est sous licence du domaine public.
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