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Définition du mouvement en une dimension
Lorsque nous disons qu'un objet est "en mouvement", nous voulons dire que sa position change avec le temps. Dans le cas d'un mouvement unidimensionnel, cela signifie que l'objet se déplace uniquement en ligne droite - imagine que tu te déplaces en ligne droite le long de l'axe des x ou des y sur un graphique, ou d'une ligne telle que \(x=2\). Ou encore, imagine que tu fasses du vélo le long d'un chemin droit et plat, sans aucun virage.
Lemouvement dans une seule dimension se produit lorsque la position d'un objet change le long d'une ligne droite.
Le mouvement dans une seule dimension implique un changement de position dans une seule coordonnée spatiale. Faire du vélo le long d'un chemin droit et plat est un exemple de mouvement en une dimension, Robert Cramer via Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0
De nombreuses quantités que nous utilisons dans notre étude du mouvement sont des quantités vectorielles, nous devons donc comprendre la différence entre les vecteurs et les scalaires avant de continuer.
Un scalaire est une quantité qui n'a qu'une magnitude et aucune valeur directionnelle.
Un vecteur est une quantité ayant à la fois une magnitude et une direction.
La cinématique est l'étude du mouvement sans référence aux forces causales impliquées. Le mouvement en une dimension implique des situations telles que le voyage le long d'une ligne droite ou la chute d'un objet après l'avoir laissé tomber d'une certaine hauteur. Il y a une poignée de variables et de formules que nous devons apprendre pour comprendre le mouvement en une dimension, nous allons donc nous pencher sur chacune d'entre elles.
Formules pour le mouvement en une dimension
Nous utilisons les variables suivantes pour décrire le mouvement en une dimension : position, déplacement, distance, vitesse, vélocité et accélération. Tu voudras connaître la signification de chacune de ces variables, ainsi que certaines définitions importantes basées sur le calcul pour ces quantités. Commençons par les trois premières variables de la liste.
Position, déplacement et distance
Savoir décrire la position d 'un objet dans l'espace sera essentiel tout au long de ton étude de la physique. La première variable que nous utilisons pour comprendre l'emplacement est la position.
La position est une quantité vectorielle représentant l'emplacement spatial d'un objet tel que mesuré dans un système de coordonnées défini.
Le plus souvent, tu utiliseras le plan de coordonnées cartésiennes à deux dimensions pour décrire les mouvements à une et à deux dimensions. Pour tracer la position, les coordonnées \(x\) et \(y\) sur un graphique en 2D représentent l'emplacement de l'objet dans l'espace.
Nous utilisons le système de coordonnées cartésiennes bidimensionnelles pour tracer et analyser les mouvements en une et deux dimensions, StudySmarter Originals
Dans le graphique ci-dessus, la position initiale d'un objet en mouvement est \N((1,1)\N) et la position finale est \N((3,1)\N). La flèche dessinée entre la position initiale et la position finale représente le déplacement de l'objet.
Ledéplacement est une grandeur vectorielle mesurant le changement de position par rapport à sa position de départ. On calcule le déplacement à l'aide de la formule suivante :
$$ \Delta x = x_f -x_0, $$
où \(x\) est la variable de position et \(x_0\) la position initiale.
Le \(\Delta x\) est lu à haute voix comme "le changement de x" ou "delta x". Dans notre exemple de graphique ci-dessus, le déplacement est de \(\Delta x = (3-1) = 2\) unités de longueur. Donc, si les unités de longueur étaient des mètres, le déplacement total de l'objet en mouvement est de \(2\) mètres. Tu te demandes peut-être quel est le rapport avec la distance parcourue - ne sont-elles pas identiques ? La réponse est non !
Ladistance est une quantité scalaire qui mesure la longueur totale parcourue par rapport à la position de départ.
Nous mesurons le déplacement et la distance en unités de longueur, le plus souvent en mètres, ou \(\mathrm{m}\). La direction du voyage est très importante pour le déplacement, alors fais attention lorsque tu calcules ! Le déplacement d'un objet peut être nul si nous finissons au même endroit que nous avons commencé, mais la distance totale sera toujours non nulle si nous nous sommes déplacés. Dans notre graphique, la distance parcourue est la même que le déplacement ici. Cependant, si l'objet revenait à sa position initiale, le déplacement serait nul et la distance totale parcourue serait de \(4\) unités.
Vitesse et vélocité
Les deux quantités suivantes que nous utilisons pour le mouvement en une dimension sont la vitesse et la vélocité.
Lavitesse est une quantité scalaire qui mesure la variation de la distance sur un intervalle de temps. Mathématiquement, nous définissons la vitesse comme suit :
$$ s=\frac{d}{t}, $$
où \(d\) est la distance totale parcourue et \(t\) le temps écoulé.
Tout comme la différence entre la distance et le déplacement, la principale distinction entre la vitesse et la vélocité est que la vélocité est une quantité vectorielle, alors que la vitesse ne l'est pas.
Lavitesse est une quantité vectorielle mesurant le taux de changement de déplacement sur le changement de temps. Mathématiquement, nous définissons la vitesse dans la direction x comme suit :
$$ v_x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(x\left(t\right)\right), $$$
la dérivée première de la fonction de position par rapport au temps.
Nous mesurons la vitesse en unités de longueur par temps, le plus souvent en mètres par seconde, ou \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\). En faisant la différence entre le taux de changement de position d'un objet en mouvement et le temps, on obtient la vitesse instantanée, c'est-à-dire la vitesse mesurée à un moment précis :
$$ v_{x\,(\mathrm{inst})} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}. $$
Si, au lieu de cela, nous voulons trouver la vitesse moyenne, nous pouvons utiliser la formule suivante :
$$ v_{x\,(\mathrm{avg})} = \frac{x_f-x_0}{t_f-t_0} = \frac{\Delta x}{\Delta t}, $$
où \(\Delta x\) est le changement de position et \(\Delta t\) est le changement de temps. Cette formule est utile si l'on te donne les valeurs numériques des positions de départ et d'arrivée et de l'heure.
Une autre façon d'écrire la formule mathématique de la vitesse est la suivante :
\begin{align*} v\left(t\right) &= \ x'\left(t\right) \\\ x\left(t\right) &= \int{v(t)\mathrm{d}t} \N-END{align*}
En d'autres termes, la dérivée première de la fonction de position d'un objet donne la fonction de vitesse, et l'intégrale de la fonction de vitesse donne la fonction de position. Ces opérations sont toutes deux effectuées par rapport au temps. Tu utiliseras ces relations pour déterminer une fonction en fonction de l'autre.
Accélération
Nous définissons l'accélération d'un objet en mouvement dans une dimension comme suit.
L'accélération est une quantité vectorielle qui mesure le taux de variation de la vitesse dans le temps. Mathématiquement, nous définissons l'accélération comme suit :
\begin{align*} a_x &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}v_x(t) \\\N &= \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x(t), \end{align*}
la dérivée première de la fonction de vitesse par rapport au temps, et la dérivée seconde de la fonction de position par rapport au temps.
Nous mesurons l'accélération en unités de longueur par unité de temps au carré, le plus souvent en mètres par seconde au carré, ou \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\). En termes simples, l'accélération est un changement de vitesse. Ce changement de vitesse peut être une accélération ou un ralentissement, ou encore un changement de direction. L'accélération instantanée, ou l'accélération à un moment précis dans le temps, est :
$$ a_{x\,(\mathrm{inst})} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}. $$
Pour trouver l'accélération moyenne sur une période de temps, on utilise la formule :
$$ a_{x\,(\mathrm{avg})} = \frac{v_f-v_0}{t_f-t_0} = \frac{\Delta v}{\Delta t}, $$
où \(\Delta v\) est le changement de vitesse. Enfin, nous pouvons à nouveau écrire cette relation entre les fonctions de position, de vitesse et d'accélération différemment en utilisant le calcul :
\begin{align*} a(t) &= v'(t) = x''(t) \\\ v(t) &= \int{a(t)\mathrm{d}t} \\N- x(t) &= \Nint{v(t)\mathrm{d}t} = \iint{a(t)\mathrm{d}t}. \n-{align*}
En d'autres termes, la fonction de vitesse est l'intégrale de la fonction d'accélération, et la fonction de position est la double intégrale de la fonction d'accélération.
Description du mouvement et de la cinématique en une dimension
Outre les variables que nous venons d'introduire, les graphiques constituent l'un des outils les plus importants pour décrire les mouvements et la cinématique en une dimension. Voici quelques-uns des graphiques que tu devras savoir interpréter et créer :
Les graphiques position-temps, qui montrent la distance parcourue au fil du temps à partir du point de départ.
Les graphiques de vitesse en fonction du temps, qui montrent les changements de vitesse en fonction du temps.
Les graphiques accélération-temps, qui montrent les changements d'accélération dans le temps.
Examinons brièvement chacun de ces trois types de graphiques.
Un graphique position-temps représente la position (x) sur l'axe vertical et le temps (t) sur l'axe horizontal.
Dans ce graphique, la magnitude du vecteur position nous donne la distance parcourue :
$$ \Delta x = 3-0 = 3,\Mathrm{m}. $$
La pente d'un graphique position-temps en un point donné nous donnera la valeur de la vitesse en ce point. Lorsque la pente est nulle, la vitesse est également nulle. La pente de cette ligne est simplement égale à \(1\), la vitesse est donc ici \(1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\).
Voyons maintenant un graphique vitesse-temps.
Un graphique vitesse-temps représente la vitesse sur l'axe vertical et le temps sur l'axe horizontal.
Le tracé de la vitesse en fonction du temps montre les augmentations et les diminutions de la vitesse.Nous pouvons également déterminer l'accélération en un point donné en trouvant la pente d'une ligne tangente à ce point, StudySmarter Originals.
L'aire sous les graphiques de vitesse et de temps donne le déplacement de l'objet en mouvement. Dans ce graphique, si nous calculons l'aire du rectangle jaune, nous trouverons le déplacement qui s'est produit entre les temps \(t_1\) et \(t_2\). En trouvant la pente d'un point le long de la courbe, nous obtenons l'accélération à ce moment précis.
Maintenant, qu'arrive-t-il à l'accélération avant, pendant et après le temps \(t_1\) ? Dans le graphique ci-dessus, il y a troislignes tangentes près de la région où la vitesse est maximale. Ces lignes droites ont une pente équivalente à celle de la courbe à cet endroit. Juste avant le temps \
Enfin, examinons un graphique accélération-temps.
Un graphique accélération-temps représente l'accélération sur l'axe vertical et le temps sur l'axe horizontal.
L'aire sous les graphiques accélération-temps donne la variation de la vitesse \(\Delta v\) d'un objet en mouvement pendant l'intervalle de temps couvert par le graphique. Dans ce graphique, l'objet en mouvement en question a une accélération constante de \(1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\). Pour l'instant, tu n'utiliseras probablement pas ces graphiques autant que possible, mais il est tout de même utile de savoir à quoi s'attendre.
Tu te demandes peut-être ce que nous mesurons avec les graphiques accélération-temps. Le taux de variation de l'accélération est une autre variable du mouvement appelée secousse. La secousse est définie mathématiquement comme suit :
$$ \mathrm{jerk} = \frac{\Delta a}{\Delta t}, $$
où \(\Delta a\) est la variation de l'accélération. Sur un graphique accélération-temps, la pente de la courbe donne la valeur de la secousse à un moment précis. Si le nom de cette variable te semble étrange, pense qu'il s'agit du type de mouvement saccadé qui se produit lorsque tu modifies soudainement ton accélération, comme lorsque tu appuies sur les freins d'une voiture en mouvement.
Les graphiques du mouvement en une dimension, ainsi qu'un peu de calcul, sont des aides puissantes pour comprendre toutes sortes de mouvements. Maintenant que nous avons parcouru les outils dont nous avons besoin, examinons un type de problème courant : le mouvement vertical d'un projectile en une dimension.
Mouvement vertical d'un projectile en une dimension
L'un des premiers types de problèmes que tu rencontreras est le mouvement de projectile.
Le mouvement deprojectile est le mouvement d'un objet qui est projeté en l'air et qui n'accélère qu'en raison de la gravité.
Le mouvementvertical d'un projectile est le mouvement d'un objet lancé vers le haut, dont la vitesse n'a qu'une composante verticale.
Un objet lancé directement en l'air accélère vers le bas en raison de la gravité, MikeRun via Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0
Dans un problème de mouvement projectif vertical, nous lançons un objet comme une balle en l'air, à partir d'une position verticale initiale de \(h_0\). Pendant le lancer, nous ne donnons à l'objet qu'une vitesse verticale initiale \(v_{x,0}\) ; la composante horizontale est nulle. Après le lancer initial, la balle atteint une hauteur maximale avant de redescendre en accélérant sous l'effet de la gravité. Il ne s'agit là que d'une brève introduction - nous aborderons plus tard les spécificités du mouvement vertical d'un projectile en une dimension.
Exemples de mouvements en une dimension
Pour terminer notre introduction au mouvement en une dimension, voyons un exemple.
Un objet se déplace avec la fonction de vitesse \(v(t) = 5.5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot t+2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \). Quelle distance l'objet parcourt-il en une demi-minute ?
Nous utiliserons les unités les plus courantes pour la vitesse et mesurerons en unités standard de \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}. Rappelle la relation entre la position et la vitesse :
$$ x(t) = \int v(t) \mathrm{d}t. $$
Nous voulons intégrer la fonction de vitesse sur l'intervalle de temps, en partant de zéro et en terminant à \(30\) secondes.
\N- Début{align*} x(t) &= \int_0^{30} \left(5.5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot t+2\,\frac{\mathrm{m}}{mathrm{s}}\rright)\mathrm{d}t \c x(t) &= \frac{5.5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot t^2}{2} + 2\\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot t \\N- x(30\N,\mathrm{s}) &= \frac{5.5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot (30\,\mathrm{s})^2}{2} + 2\Nfrac{\Nmathrm{m}}{\Nmathrm{s}}\Ncdot 30\Nmathrm{s} \Nx(30\Nmathrm{s}) &= 2475\Nmathrm{s} + 60\Nmathrm{s} \Nmathrm{s} \Nfrac{\Nmathrm{s}) + 60,\Nmathrm{m} \N- x(30\N,\Nmathrm{s}) &= 2535\N,\Nmathrm{m}\Nend{align*}
L'objet parcourt \N(2535\N,\Nmathrm{m}\N) sur \N(30\N,\Nmathrm{s}\N).
Voyons un autre exemple, en utilisant cette fois la définition de la vitesse en calcul.
Un objet se déplace le long de l'axe des x avec une équation de position de \(x(t) = 4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\cdot t^2-7\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot t+3\mathrm{m}\), avec \(x\c) mesuré en \(m)\c). Au moment \(t=5\,\mathrm{s}\), quelle est la vitesse instantanée de l'objet ?
Nous savons que la relation entre la vitesse et la position d'un objet soumis à un mouvement unidimensionnel est :
$$ v(t) = x'(t). $$
Tout d'abord, nous voulons prendre la dérivée seconde de la fonction de position donnée ci-dessus.
\begin{align*} v(t) &= x'(t) \\ v(t) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\cdot t^2-7\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot t^2-7\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot t+3}. \cdot t+3\mathrm{m} \N- \N v(t) &= 8\N,\Nfrac{\Nmathrm{m}}{\Nmathrm{s}^2} \cdot t-7\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}. \Nend{align*}
Enfin, nous introduisons notre valeur de \(t\N) et résolvons la vitesse :
\begin{align*} v(5\N,\Nmathrm{s}) &= 8\N,\Nfrac{\Nmathrm{m}}{\Nmathrm{s}^2} \cdot (5\,\mathrm{s})-7\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\N- v(5\N,\Nmathrm{s}) &= 33\N,\Nfrac{\Nmathrm{m}}}{\Nmathrm{s}}.\NFin{align*}
A \(t=5\\Nmathrm{s}\N), la vitesse de l'objet est égale à \N(33\Nmathrm{m}}\Nfrac{\Nmathrm{m}}{\Nmathrm{s}}).
Maintenant que tu as vu une introduction au mouvement en une dimension, la prochaine étape consiste à apprendre la cinématique en une dimension, ou l'étude du mouvement sans référence aux forces en jeu. Nous aborderons d'autres formules de cinématique pour le mouvement en une dimension dans l'article sur les équations cinématiques, alors continue de lire !
Mouvement en une dimension - Points clés à retenir
- Le mouvement en une dimension est le changement de position d'un objet le long d'une seule dimension spatiale.
- Nous pouvons déterminer si un objet est en mouvement en examinant ses changements de position et de direction, ou sa vitesse, le long d'une trajectoire.
- La position est la quantité vectorielle mesurant l'emplacement spatial d'un objet, le plus souvent représentée par une paire de coordonnées.
- Le déplacement est la quantité vectorielle mesurant le changement de position d'un objet par rapport à sa position initiale, calculée à l'aide de la formule \(\Delta x = x_f-x_0\).
- La distance est la quantité scalaire mesurant la longueur totale parcourue par un objet au cours d'une période de temps mesurée.
- La vitesse est la quantité scalaire qui mesure la distance parcourue pendant une période de temps et décrit la vitesse à laquelle un objet se déplace sans tenir compte de la direction, calculée à l'aide de la formule \(s=\frac{d}{t}\).
- La vitesse est la quantité vectorielle mesurant le taux de changement de position par rapport au temps, ou \(v_x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\).
- L'accélération est la quantité vectorielle mesurant le taux de changement de la vitesse par rapport au temps, ou \(a_x = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\).
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