Fonctions d'utilité

Signification des fonctions d'utilité

Les fonctions d'utilité sont des relations mathématiques qui établissent une correspondance entre les préférences et la quantité d'utilité obtenue grâce à cette préférence. Mais qu'est-ce que l'utilité en économie ?

Les fonctions d'utilité sont un type particulier de fonction qui mesure l'utilité d'une préférence. En économie, nous désignons généralement l'utilité par \(u\), et nous désignons l'utilité tirée de la préférence \(x\) par \(u(x)\).

Fonctions d'utilité avec un seul argument

Les fonctions d'utilité à un seul argument sont un moyen courant de montrer l'utilité d'un seul bien ou d'une seule préférence. Supposons une fonction d'utilité, \(u\), qui montre la quantité d'utilité gagnée par la consommation de pêches. Nous pouvons représenter cette fonction par la courbe suivante.

Fig. 1 - Courbe d'utilité de la consommation de pêches

Si un agent dont la courbe d'utilité est \(u\) consomme \(x_1\) quantité de pêches, son utilité sera égale à \(y_1\). Il s'agit d'une fonction d'utilité à un seul argument. Elle prend son seul argument, \(x_1\), et lui associe une valeur, \(y_1\).

Fonctions d'utilité avec plusieurs arguments

Une autre utilisation courante des fonctions d'utilité est leur application à un ensemble de biens. Reprenons le scénario précédent, mais au lieu de comparer deux utilités différentes, mesurons l'utilité combinée. Supposons que notre fonction d'utilité \(u\) prenne deux arguments, \(x_1\) et \(x_2\). Elle fait correspondre les résultats à \(x_1\) et \(x_2\) selon la règle suivante :

\N- u(x_1,x_2) = x_1^2 + x_2\N)

Supposons maintenant que tu aies mangé deux pêches, notées \(x_1\), et une tranche de pastèque, notée \(x_2\). Nous pouvons calculer l'utilité totale avec l'approche suivante.

\(u(\hbox{pêches, pastèque}) = \hbox{pêches}^2 + \hbox{melon}\)

Développons ceci de manière plus approfondie. Pour une meilleure compréhension, nous pouvons démontrer nos équations sur un système de coordonnées cartésiennes. Cela dévoilera la relation entre les courbes d'indifférence et les fonctions d'utilité.

Fonctions d'utilité et courbes d'indifférence

Les fonctions d'utilité et les courbes d'indifférence sont étroitement liées. Nous pouvons expliquer leur relation à l'aide d'un exemple. Supposons que notre fonction d'utilité des fruits soit toujours la même, qui peut être notée comme suit :

\(u(\hbox{pêches, pastèque}) = \hbox{pêches}^2 + \hbox{melon}\).

Maintenant, nous pouvons créer un tableau pour différentes quantités de comportements de consommation.

Tableau. 1 - Différents paquets de consommation de pastèques et de pêches

As-tu remarqué quelque chose entre la première et la deuxième ligne ? La troisième colonne de la première ligne est égale à 11, et de même, la première colonne de la deuxième ligne est égale à 11. Cela montre que l'utilité de manger deux pêches et sept tranches de pastèque est la même que l'utilité de manger trois pêches et deux tranches de pastèque. De toute évidence, la valeur que tu as gagnée en mangeant une seule pêche est beaucoup plus importante que celle que tu as gagnée en mangeant une tranche de pastèque. Nous pouvons représenter ces valeurs sur un système de coordonnées cartésiennes comme sur la figure 2 ci-dessous.

Fig. 2 - Représentation des valeurs sur un système de coordonnées cartésiennes

Note qu'en ce qui concerne les différentes combinaisons, notre utilité changera. Si nous suivons la ligne indiquée, notre utilité augmentera continuellement. Supposons maintenant qu'il existe des points de combinaison qui donnent la même quantité d'utilité. Dans l'exemple précédent, la combinaison de trois pêches et de deux tranches de pastèque a donné la même quantité d'utilité que la combinaison de deux pêches et de sept tranches de pastèque. Puisque l'utilité retirée de ces combinaisons est la même, nous pouvons les dénoter sur la même courbe d'indifférence, comme dans la figure 3 ci-dessous.

Fig. 3 - Différentes courbes d'utilité par rapport à différentes combinaisons de biens

As-tu remarqué une similitude entre les fonctions d'utilité et les courbes d'indifférence ? Nous pouvons dire qu'une fonction d'utilité fait correspondre l'utilité obtenue à partir d'un ensemble de biens à une courbe d'indifférence. Ici, \(u_3\) est une courbe d'indifférence. L'agent est indifférent à toutes les combinaisons sur \(u_3\) parce qu'elles lui procurent la même quantité d'utilité.

Pour faire court, nous pouvons dire que les fonctions d'utilité mesurent l'utilité d'une combinaison de préférences ou d'un ensemble de biens. Nous pouvons représenter la quantité d'utilité obtenue à partir d'un ensemble spécifique par une courbe d'indifférence. C'est pourquoi les fonctions d'utilité et les courbes d'indifférence sont étroitement liées.

Types de fonctions d'utilité

Bien que les fonctions d'utilité puissent se présenter sous diverses formes, il existe quelques types courants de fonctions d'utilité utilisés pour la modélisation économique, l'élaboration de politiques et la compréhension des comportements individuels généraux. Dans cette section, nous allons passer en revue ces types courants de fonctions d'utilité et essayer d'en saisir la structure.

Formule des fonctions d'utilité

Comme les fonctions d'utilité se présentent sous différentes formes, il est impossible de les énoncer à l'aide d'une formule générale. En revanche, il existe certaines structures de fonctions d'utilité communes qui sont largement utilisées dans la littérature économique. Nous pouvons les énumérer comme suit :

• Fonctions d'utilité linéaires
• Fonctions d'utilité des compléments parfaits
• Fonctions d'utilité des substituts parfaits
• Fonction d'utilité de Cobb - Douglas

Fonctions d'utilité linéaires

Les fonctions d'utilité les plus connues et les plus basiques sont les fonctions d'utilité linéaires. Les fonctions d'utilité linéaires sont appelées linéaires en raison de leur structure. Désignons une fonction d'utilité, \(u\), avec les conditions suivantes.

\(u(x_1,x_2,x_3,...,x_n) = m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3+...+m_nx_n\),

\N(m_1, m_2,...,m_n \Ndans R^{+}\N)

Dans ces types de fonctions d'utilité, l'utilité de la consommation augmente de façon linéaire. Si nous essayons de trouver l'utilité obtenue en consommant une unité du bien, nous pouvons prendre la dérivée partielle de la fonction par rapport à ce bien.

En ce qui concerne les fonctions d'utilité linéaires, nous pouvons trouver l'utilité marginale en prenant la dérivée partielle : \(\hbox{Utilité marginale} = \dfrac{\partial \hbox{Utilité totale}}{\partial \hbox{Consommation totale}}\).

Supposons que nous ayons une fonction d'utilité linéaire comme ci-dessus et que nous voulions trouver la quantité d'utilité gagnée par la consommation d'une unité de \(x_1\).

Nous savons que notre fonction d'utilité est :

\(u(x_1,x_2,x_3,...,x_n) = m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3+...+m_nx_n\),

et si nous voulons trouver l'utilité marginale de \(x_1\), nous devons prendre la dérivée partielle par rapport à \(x_1\). Ainsi ,

\(\dfrac{\partial u}{\partial x_1} = m_1\)

Ainsi, si nous consommons une unité de \(x_1\), notre utilité augmentera de \(m_1\).

Fonctions d'utilité des compléments parfaits

Que sont les compléments parfaits ?

Les fonctions d'utilité des biens parfaitement complémentaires contiennent l'arrangement minimum puisque les biens ne peuvent être consommés ensemble qu'en respectant la même proportion. On peut donc représenter la fonction d'utilité des compléments parfaits par \(u(x,y) = min(x,y) \).

Fonctions d'utilité des substituts parfaits

Que sont les substituts parfaits ?

Les fonctions d'utilité pour ces types de biens peuvent être notées \(u(x,y) = x + y\). Leur taux marginal de substitution est égal à un.

Exemples de fonctions d'utilité

Puisque nous avons abordé les aspects généraux des fonctions d'utilité, il est maintenant préférable de donner un exemple de fonctions d'utilité et de lier nos connaissances à cet exemple.

Désignons une fonction d'utilité \(u\) qui prend deux produits comme arguments, \(x\) et \(y\), et qui les met en correspondance comme suit :

\(u(x,y) = x + 2y | u(x,y) \geq 0 \land x,y \in R\)

Désignons maintenant une ligne budgétaire, \(w\), qui est égale à 10 $, alors qu'une unité de x coûte 1 $ et qu'une unité de y coûte 2 $ :

\N(w = \N10$, x = \N1$, y = \N2$ \N)

Peux-tu trouver l'ensemble des biens que l'on peut obtenir en respectant le budget ? Quelle est l'utilité maximale qu'un consommateur peut tirer de cet ensemble de biens ?

Dans ce genre de questions, deux possibilités s'offrent à nous. L'une consiste à énumérer toutes les combinaisons possibles, et l'autre à trouver le taux marginal de substitution entre deux biens. Nous allons utiliser ici l'approche des combinaisons possibles.

Puisque nous allons énumérer certaines combinaisons, il est préférable de créer un tableau avec différentes valeurs possibles. Dans le tableau ci-dessous, nous allons indiquer le coût de la combinaison et l'utilité tirée de la combinaison par rapport aux équations données précédemment.

Tableau. 2 - Tableau avec différentes combinaisons des deux biens

Nous devons garder à l'esprit que certaines des combinaisons ici ne sont pas réalisables. Comme notre budget est de 10 $, nous pouvons éliminer les options qui sont supérieures à 10 $. Par conséquent, désignons les cellules irréalisables par une couleur différente.

Tableau. 3 - Tableau avec les combinaisons infaisables marquées en rouge.

Ainsi, la quantité maximale d'utilité que l'on peut obtenir est de \(u = 10\). Il existe de nombreuses combinaisons permettant d'atteindre ce niveau d'utilité. Nous voyons clairement le lien entre les courbes d'indifférence et les fonctions d'utilité.